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Función armónica
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En matemáticas, una función armónica es una función dos veces continuamente derivable f : D → R (donde D es un subconjunto abierto de Rn) que cumple la ecuación de Laplace, i.e.

en D. Esto se suele escribir como
o también como
Contenido[ocultar] * 1 Ejemplos * 1.1 Ejemplos de funciones armónicasde dos variables * 1.2 Ejemplos de funciones armónicas de n variables * 2 Conexiones con el análisis de funciones complejas de variable compleja * 3 Propiedades de las funciones armónicas * 3.1 El teorema de regularidad para las funciones armónicas * 3.2 El principio del máximo * 3.3 El teorema de la media aritmética * 3.4 El terorema de Liouville * 4 Véasetambién * 5 Enlaces externos |
[editar] Ejemplos
[editar] Ejemplos de funciones armónicas de dos variables
* La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa
* f(x1, x2) = ln(x12 + x22)
definida en R2 \ {0} (por ejemplo el potencial eléctrico debido a una carga en línea, y el potencial gravitatorio debido a una masa cilíndrica)
* Si u es una función armónica y leaplicamos una transformación conforme del plano, continúa siendo armónica.
[editar] Ejemplos de funciones armónicas de n variables
* Las funciones afines, en particular la función constante.
* La función
con .
[editar] Conexiones con el análisis de funciones complejas de variable compleja
La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa son funciones armónicas. Esto se derivade que toda función holomorfa verifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann. En tal caso se dice que son armónicas conjugadas.
[editar] Propiedades de las funciones armónicas
Algunas propiedades importantes de las funciones armónicas se pueden deducir de la ecuación de Laplace.
[editar] El teorema de regularidad para las funciones armónicas
Las funciones armónicas son infinitamente derivables. Dehecho, son funciones analíticas.
[editar] El principio del máximo
Las funciones armónicas satisfacen el siguiente principio del máximo (conocido como el principio débil del máximo): si K es cualquier subconjunto compacto de D, entonces f, en K, alcanza sus máximo y mínimo en la frontera de K.
Si además D es conexo, se tiene que f no puede tener máximos o mínimos locales, excepto si f esconstante (conocido como el principio fuerte del máximo).
[editar] El teorema de la media aritmética
El teorema recibe otros nombres como propiedad de la media de las funciones armónicas. Establece que si tenemos una función armónica definida en una bola, podemos determinar el valor de la función en el centro de la bola a partir de la media de los valores de la función en su superficie. Es más:
SiB(x,r) es una bola de centro x y radio r contenida completamente en D, entonces el valor de f(x) en el centro de la bola está dado por el valor medio de f en la superficie de la bola; este valor medio es también igual al valor medio de f en el interior de la bola. En otras palabras

donde ωn es el área de la superficie de la bola unidad en n dimensiones.
[editar] El terorema de Liouville
Si f esuna función armónica definida en todo Rn que está acotada superior o inferiormente, entonces f es constante (compárese con el Teorema de Liouville para funciones de una variable compleja).

Operador laplaciano
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En cálculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden,denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace que estudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecía dicho operador.
Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas...
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