Desarrollo del niño

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Colegio Sinaloa

Calculo Integral

Cota Blancas Iris

11/04/2012

602

Integracion Metodo de Sustitucion o por el Cambio de Variable
En este capitulo formularemos el metodo analogo de la regla de la cadena para obtener la primitiva de una funcion.
Supongamos que requerimos calcular la integral ʃ ƒ (x) dx pero no podemos determinar inmediatamente la primitiva de ƒ(x) aunque sabemosque existe.
Si hacemos el cambio de variable u=g (x), tal que ʃƒ(x)dx= ʃƒ[g(x)] g’(x)dx, donde ƒ(x) y g’ (x) son funciones continuas en un intervalo determinado, entonces ʃƒ(x)dx = ʃƒ(u) du.
Oberva lo siguiente:

Ƒ(u) = ƒ[g(x)]

Conclucion:

ʃƒ(x) dx= ʃƒ[g(x)] g’(x) dx
= ƒ(u) du si y solo si u = g(x)

Para calcular la integral ʃ ƒ[g(x)] g’(x) dx debe seguir los pasos quepresentamos a continuacion:

1. Sustituir u = g (x)y du =g’(x)dx para obtener la integral ʃ ƒ(u) du.

2. Calcular ʃ ƒ(u) du con respecto a u.

3. Remplazar u por g(x) en la exprecion que resulta en el paso 2 .

Integracion Por Partes

Si u y v son dos funciones derivables de x, la diferencial del producto uv es
D(uv)+ v du.
Al integrar obtenemos:

ʃd(uv)= ʃ u dv + ʃ v duuv = ʃ u dv + ʃ v du

De donde:

ʃu dv = uv - ʃ v du

La exprcion anterior es la formula de integracion por partes, la cual se utiliza con frecuencia para integrar las expreciones que pueden representarse en forma de un producto de dos factores, que son u y dv, de tal forma que ele calculo de la integral ʃ v du resulte un problema mas sencillo que el calculo de ʃ u dv.
La habilidad paracacular integrales por este metodo se obtiene con l experiencia. A continuacion presentamos un ejemplo para mostrar el procedimiento que debes seguir en estos casos semejantes.

Calcula las siguientes integrales porel metodo de la integracion por partes.

1. ʃ x co x dx

Solucion:

Sea:

u=x du = dx
- - >
dv= cos x dxv = ʃ cos x dx = sen x

ʃ x cos x dx = ʃ u dv

Donde:

ʃ u dv = uv - ʃ v du
= x sen x – ʃ sen x dx
= x sen x – (-cos x) + C
ʃ x cos x dx = sen x + cos x + C

Integrales Trigonometricas
Integracion de potencias de funciones trigonometricas
Calculo de integrales de la formula ʃ sen x dx

Para calcular este tipo de integrales consideramos doscasos:
* si n es un entero positivo par.
* Si n es un entero positivo impar.

Caso 1

Si n es un entro positivo par, el integrado sen x dx sustituye por la exprecion

( sen x) dx.

Luego:
ʃ sen x = (sen x) dx

De acuerdo con las identidades trigonometricas:

Sen A=

Si A = x, tenemos:

ʃ sen x = ʃ

Al desarrollar y separando los sumandosse obtienen integrales que ya sabes calcular.

Ejemplo:

Calcula ʃ sen x dx

Formulario

Como n = 4 es un numero entero posiivo par, tenemos:

Caso 2

Si n es un numero positivo impar se sustituye el integrando

Sen x dx por sen x. sen x dx = (sen x) sen x dx.

Luego:

ʃ sen x dx = ʃ(sen x) sen x dx

De acuerdo con las identidade trigonometricas:

Sen x= 1 –cosx
Por lo tanto:

ʃ sen x dx = ʃ(1 – cos x) sen x dx

Al desarrollar (1 – cos x) sen x y separar los sumados resultan integrales de la forma ʃ cos’’ x sen x dx, las cuales calculamos por el metodo de sustitucion o cambio variable haciendo:

U= cos x

Du= - sen x dx

Ejemplo

Calcula la integral ʃ sen x dx

Formulario

Como n = 7 es un numero positivo impar, tenemos:

ʃsen x dx= ʃ(1- cos x) sen x dx

(a-b) = a -3 a b+3ab -b



Calculo de integrales de la forma ʃ cos x dx

Para este tipo de integrales cosideramos dos casos:

* Cuando n es un numero entero positivo par.
* Cuando n es un numero entero positivo impar.

Caso 1

Si n es un numero positivo par el integradno cos x dx se sustituye por (cos x) dx.

ʃ cos x dx= ʃ(cos...
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