Desarrollo serie de fourier-bessel

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Juan Camilo García Hernández id: 000089766

Trabajo Ecuaciones Diferenciales.
Representar mediante una serie de Fourier-Bessel la función f(x)=x2 0<x<3 con la condición J0’(3α)=0 yexpandir los 3 primeros términos no nulos de la serie.
Solución:

Dada la condición: J0’(3α)=0
Se tiene que fx=c1+n=2∞cnJ0(αnx)
Donde c1= 2b20bxf(x)dx
Y cn= 2b2J02αnb0bxJ0αnxf(x)dx
Y lasαn se definen mediante la condición J0’(3α)=0
En este caso: b=3
Luego, c1= 23203x3dx=2
Y cn= 232J02αn303x2xJ0(αnx)dx
Se toma αnx=t , dx= dtan , x2= t2αn2
Entonces cn=29(αn4)J02αn303αnt2tJ0(t)dt
Ahora se evalúa la integral 03αnt2tJ0(t)dt
Como tJ0t= d(t J1t)dt
La integral queda
Luego: 03αn(t2d(t J1t)dt)dt se hace u= t2 , du= 2t dt , dv= dt J1t , v= t J1t para resolverla integral por partes.
03αn(t2d(t J1t)dt)dt = t3 J1t| 03αn- 2 03αnt 2J1t dt

Ahora la integral 03αnt 2J1t dt se resuelve aplicando las relaciones de recurrencia:
t2J1t= d(t2 J2t)dt
Entonces laintegral queda:
03αnd(t2 J2t)dt dt = t2 J2t|03αn
Entonces: cn= 29αn4J02αn3(t3 J1t| 03αn - 2t2 J2t|03αn)
Con esto se tiene Luego: cn= 29αn4J02αn3(9 αn3J13αn - 18αn2 J23αn)
Simplificando:cn= 29 αn4J023αn9αn2(αnJ13αn- 2J23αn)
Entonces: cn= 2αn2 J023αn(αnJ13αn- 2J23αn
Entonces el desarrollo deseado
fx=2+n=2∞ 2αn2 J023αn(αnJ13αn- 2J23αnJ0(αnx)

Para calcular αn se procede, dada lacondición J0’(3α)=0, que es equivalente a J1(3α)=0:
α2= 3.83173=1.27723
α3= 7.01563=2.3385
α3= 10.17353=3.3912

Ahora expandiendo los términos:
fx=2 -3.8879+6.0880*J0α2x+2.8497-2.4372*J0α3x-2.3618+1.3929*J0α4x +n=5∞ 2αn2 J023αn(αnJ13αn- 2J23αnJ0(αnx)

Simplificando:

fx=-1.4+6.0880*J0α2x-2.4372*J0α3x+1.3929*J0α4x +n=5∞ 2αn2 J023αn(αnJ13αn- 2J23αnJ0(αnx)

Para evaluar lasfunciones de Bessel, se uso el programa MATLAB, a continuación se muestra una imagen de dicho procedimiento:

Bibliografía:
* ZILL Dennis; CULLEN Michael. Ecuaciones Diferenciales Con Problemas...
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