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´ ´ CALCULO NUMERICO Departamento de Matem´tica Aplicada a Universidad de Salamanca

Luis Ferragut Canals

3-febrero-2008

2

´ Indice general

1. Introducci´n al C´lculo Num´rico o a e

7

2. Resoluci´n num´rica de ecuaciones de una variable o e 2.1. M´todo de la bisecci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 2.2. El m´todo de punto fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3. El m´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4. Modificaciones del m´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5. El m´todo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e

9 10 12 16 2124

3. Generalidades sobre el an´lisis num´rico matricial a e 3.1. Los dos principales problemas del c´lculo num´rico matricial . . . . . . . . . . . . . . . . a e ´ 3.2. Repaso de conceptos y resultados del Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Notaciones y primeras definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Valores propios . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Reducci´n de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.3. Normas vectoriales y normas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Caracterizaci´n de valores propiosy convergencia de sucesiones de matrices . . . . o 3.3.3. Condicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

27 27 28 28 30 31 35 35 37 43

4

´ INDICE GENERAL

4. M´todos directos para la resoluci´n de ecuaciones lineales e o 4.1. Nociones preliminares. El m´todo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.1.1. Descripci´n delm´todo de Gauss para un sistema de 4 ecuaciones con 4 inc´gnitas o e o 4.1.2. Escritura matricial de las operaciones de eliminaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.1.3. El m´todo de eliminaci´n de Gauss para un sistema regular N × N . . . . . . . . . e o 4.1.4. Existencia y unicidad de A = LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. Complejidad algoritmica del m´todode eliminaci´n de Gauss . . . . . . . . . . . . e o 4.2. El m´todo de Cholesky para matrices sim´tricas y definidas positiva . . . . . . . . . . . . e e

49 49 49 51 53 59 60 61

5. M´todos iterativos para la resoluci´n de sistemas de ecuaciones lineales e o 5.1. Generalidades y descripci´n de algunos m´todos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 5.1.1. Descripci´n del m´todo deJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 5.1.2. Descripci´n del m´todo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 5.1.3. M´todos de relajaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 5.1.4. Control de parada de las iteraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5. M´todos por bloques . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2. Estudio de la convergencia de los m´todos de Jacobi, Gauss-Seidel y S.O.R. . . . . . . . . e 5.2.1. Matrices a diagonal dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Matrices herm´ ıticas y definidas postivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 64 67 68 69 70 70 72 74

5.2.3.Comparaci´n de los m´todos de Jacobi y Gauss-Seidel. B´squeda del par´metro de o e u a relajaci´n ´ptimo en el m´todo S.O.R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o e

75

6. Optimizaci´n sin restricciones o 6.1. Fundamentos de la optimizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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