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OPERACIONES CON MATRICES

Apuntes de clase

Pere Riera

Una matriz A de orden nxm (n filas y m columnas) se denota de la siguiente forma.

| |a11 |a12 |... |a1m |
| |a21 |... |... |...|
|A = |... |... |aij |... |
| |... |... |... |... |
| |an1 |... |... |anm|

Los subíndices corresponden a la fila i y a la columna j.

Un vector fila b de n elementos se representa de la siguiente forma.

|b = |b1 |b2 |... |bn |

Un vector columna de n elementos se representa de forma análoga pero verticalmente.

SUMA

La suma o resta dematrices se realiza elemento a elemento. Así un elemento de la matriz A + B = C será cij = aij + bij.

PRODUCTO

El producto o división de un escalar por una matriz se realiza multiplicando (dividiendo) cada elemento de la matriz por el escalar. Así, el elemento cij producto del escalar k por la matriz A será k cij.

El producto entre dos matrices no tiene la propiedad conmutativa. El número decolumnas de la matriz que premultiplica debe ser igual al número de filas de la matriz que postmultiplica. El orden de la nueva matriz será del número de filas de la matriz que premultiplica por el número de columnas de la matriz que postmultiplica. Así, al multiplicar A B = C, siendo A de orden nxm y B de orden mxp, la matriz C será de orden nxp.

Cada elemento de la matriz producto (C) es elresultado de sumar los productos del primer elemento de la fila correspondiente, por el primer elemento de la columna correspondiente, segundo elemento de la fila por segundo elemento de la columna, y así sucesivamente. Por tanto,

cij = SUMA (desde k=1 hasta m) aik bkj

Cuando una matriz (A) cuadrada nxn premultiplica un vector (B) columna nx1, el producto será un vector columna de orden nx1.El primer elemento de este vector (C) columna será c1 = (c11 c1) + (c12 c2) + ... + (c1n cn). De forma parecida se procede para el segundo elemento y los restantes. En general, ci = (ci1 c1) + (ci2 c2) + ... + (cin cn).

MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD

La matriz identidad, que se denota por I, es una matriz cuadrada, de orden nxn, tal que los elementos de la diagonal principal toman el valor 1 (launidad) y el resto de elementos el valor cero.

| |1 |0 |... |0 |
| |0 |1 |... |... |
|I = |... |... |…|... |
| |... |... |... |... |
| |0 |... |... |1 |

Se puede comprobar como premultiplicando o postmultiplicando una matriz por lacorrespondiente matriz identidad, el producto es la misma matriz. Es decir, I A = A I = A.

La matriz identidad es un caso particular de la matriz escalar, donde el escalar es la unidad. En una matriz escalar, los elementos de la diagonal principal toman el valor k y el resto de elementos el valor cero. A su vez, la matriz escalar es un caso particular de la matriz diagonal, donde los elementos...
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