Descomposición fracciones parciales

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MATEMÁTICAS ESPECIALES. ITM Página # 1 de 6

Docente: Martha Guzmán.

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
Cualquier fracción propia P(x) / Q(x), escrita en su mínima expresión se puede descomponer en una suma de FRACCIONES PARCIALES de la siguiente forma:

CASO A):
Si Q(x) tiene un factor lineal no repetido de la forma ( ax + b ), entonces la descomposición en fracciones parciales deP(x) / Q(x), contiene un término de la forma: . A . , donde A es una constante a determinar. ( ax + b )

EJEMPLO:

.

5x -1 (x+2)

.

=

. A . ; donde A es la constante a determinar. ( x + 2)

CASO B):
Si Q(x) tiene un factor lineal que se repite k veces, de P(x) / Q(x), contiene términos de la forma: de la forma ( ax + b ), entonces la descomposición en fracciones parciales

. A1. ( ax + b )1

+

. A2 . ( ax + b )2

+

. A3 . ( ax + b )3

+

………….. + . Ak . ( ax + b )k . + . A3 . ; Donde A1 , A2 y A3 son constantes a

EJEMPLO: . 6x2 - 14x - 27. = . A1 . + .
determinar.

A2

( x - 3)3

( x - 3 )1

( x - 3 )2

( x - 3 )3

CASO C):
Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite:PROCEDIMIENTO 1) : Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite, entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), contiene un término de la forma:

. Ax + B . ; ax2 + bx + c EJEMPLO:

Donde A y B son las constantes a determinar.

. x2 + 1. = . Ax + B . x2+ x + 1 x2+ x + 1

; Donde A y B son las constantes adeterminar.

PROCEDIMIENTO 2) : Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite, entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), puede realizarse después de reducir la expresión ( ax2 + bx + c ) ya no en los reales, sino en los números complejos: ( ax2+ bx + c ) = ( x + e + j f ) * ( x + e – j f ) Y entonces la descomposiciónen fracciones parciales de P(x) / Q(x), tiene dos términos de la forma: . A . (x+e+jf ) + . A . ( x+e–j f )
*

EJEMPLO:

.

x2 + 1 . = . x2 + 1 . x+x+1 (x+e+jf ) ( x+e–j f )
2

= .

A

.

+ .

A*

.

(x+e+jf )

( x+e–j f )

Donde A y A* ( Conjugado de A) ,

son las constantes a determinar.

CASO D):

MATEMÁTICAS ESPECIALES. ITM Página # 2 de 6

Docente: MarthaGuzmán. entonces la

Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax 2+ bx + c ) irreductible en los reales que se repite kveces, descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), contiene términos de la forma:

. A1 x + B1 . + . A2 x + B2 . + . A3 x + B3 . + ………. + . Ak x + Bk . ( ax2 + bx + c )1 ( ax2 + bx + c )2 ( ax2 + bx + c )3 ( ax2 + bx + c )k
Donde A1, EJEMPLO: determinar.B1, A2, B2, A3, B3, Ak, Bk, . x2 - x + 1. (x2 + 2x + 2)2 = . A1x + B1 . (x2 + 2x + 2)1

son las constantes a determinar.

+ . A2x + B2 . ; (x2 + 2x + 2)2

Donde

A1, B1, A2, B2 son las constantes a

CASO E) COMBINACIÓN DE CASOS:
Si Q(x) tiene factores de tal forma que se presente cualquier combinación de los casos anteriores, entonces por cada casose presentará una descomposición enfracciones parciales de P(x) / Q(x), según se dijo anteriormente. EJEMPLOS:

1) .

5x - 1 . (x+2) (x–3)

=

. A . + ( x + 2)

.

B . ; (x–3)

donde A y B son las constantes a determinar.

2)

.

6 x2 - 14x – 27
( x + 8 ) ( x - 5 )3

. = . A . + .
(x+8)

B

. + . C
( x - 5 )2

. + .

D

.

( x - 5 )1

( x - 5 )3

Donde A, B, C, D son las constantes a determinar.3)

.

3 x2

-

6x



2

. = . A . +
(x-4)

. B .
(x+1)

+

. Cx + D
( x2 + x + 1 )

.

( x - 4 ) ( x + 1 ) ( x2 + x + 1 )

Donde A, B, C, D son las constantes a determinar.

4) .

15x3 +

4x2 + x –

2 . = . A . + .
( x + 12 )

B

.+ . Cx + D . + . Ex + F
( x2 + x + 1 ) 1 ( x2 + x + 1 )2

.

( x + 12 ) ( x - 5 ) ( x2 + x +1 )2

(x-5)

Donde...
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