Descomposicion lu

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DESCOMPOSICIÓN LU

Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que en español se traducen como "Inferior" y "Superior". Al estudiar el proceso que se sigue en la descomposición LU se podrá comprender el por qué de este nombre, al analizar cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.

La descomposición LU involucra solooperaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal.

Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].

[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números1.

El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].

[pic]Definiciones:

Sea A una matriz no singular (si lo fuera, entonces la descomposición podría no ser única)
[pic]
donde L y U son matrices inferiores y superiores triangulares.
Para matrices [pic], esto es:
[pic]
Ladescomposición PLU tiene esta forma: [pic]o también: PA = LU (recordando que las matrices de permutación matriz permutación son invertibles y su inversa es su transpuesta)
Donde L y U son, de nuevo, dos matrices triangulares inferior y superior respectivamente y P es una matríz de permutación.

Unicidad:

Las matrices L y U son únicas, si la matriz no es singular. En caso contrario pueden no serúnicas.
Demostración:
Dada la matríz A ∈ Rmxn

A = L1U1 y A = L2U2
Recordemos que L1,U1,L2,U2 son invertibles por tener el determinante distinto de cero entonces:
L1U1 = L2U2

[pic]

Entonces [pic]es una matríz triangular inferior, con unos en la diagonal y [pic]es triangular superior, con unos en la diagonal (recordando que el producto matricial de triangulares superiores/inferiores estriangular superior/inferior). La única matríz que cumple estas dos propiedades es la identidad. Por lo tanto:
[pic]y [pic]
Con lo cual:
L1 = L2 y U1 = U2

Algoritmos:

La factorización LU es básicamente una forma modificada de la eliminación gaussiana. Transformamos la matriz A en una triangular superior U anulando los elementos debajo de la diagonal.
E1 * E2 * ... * En * A = U
DondeE1,E2,...,En son matrices elementales, que representan los distintos pasos de la eliminación. Luego recordando que la inversa de una matríz elemental, es otra matríz elemental:
[pic]
Llamamos L a [pic]una matríz triangular inferior.

PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U])

1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.
2. Para lograr loanterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote.
3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.
4. Este factor se multiplica por cada factor de la fila pivote y el resultado se resta al valor correspondiente de la fila donde se encuentra el valor a convertir en cero.

PASOS PARA ENCONTRAR LAMATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

(MATRIZ [L])

Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal según corresponda en cada uno.

Esquemáticamente se busca lo siguiente:

[pic] [pic]

Originalmente se tenía:

[pic]

Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuación y se tiene lo siguiente:

[pic]

[pic]

Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b.

Realizando una serie de cálculos, la forma general para los coeficientes de las matrices L y U sería:
[pic]

PASOS PARA RESOLVER...
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