descripcion de la circunferencia - geometria analitica

Además de las rectas, los círculos, los planos y las esferas; los griegos se interesaron por las curvas obtenidas como secciones de un cono (parábolas, elipses e hipérbolas). No es totalmente claro el porqué del interés en estas curvas.

Las referencias que están disponibles parecen relacionar las cónicas con el problema de duplicación del cubo (problema de Delos): Dado un cubo delados de medida s y por tanto de volumen lumen s3 , encontrar un cubo de lados de medida x y volumen 2s3 . Hay que entender que solo se podía usar las condiciones auto-impuestas en la época: Las construcciones debían hacerse solo con regla (sin marcas) y compás. Hipócrates redujo el problema a un problema de proporciones,


s : x = x : y = y : 2s

De aquí se deduce quelos valores x, y deben estar en la parábola x2=s y• y en la hipérbola x• y=2s2 .La solución se obtiene como la intersección de estas curvas, x = ³ 2s que es un número que
no se puede construir con regla y compás (como se demostró un
2000 años después). En la época griega, estas curvas aparecen como relaciones geométricas.







Derivación de la ecuación de la parábolasegún
Apolonio de Perga.



Menecmo (320 a. C.) parece ser el primero en encontrar estas curvas, en sus esfuerzos por resolver el problema de Delos de manera geométrica. No es claro cómo pudo llegar a estas curvas (aunque hay varias conjeturas). Es probable que fuera de una manera similar a la manera en la que Apolonio de Perga (262 a.C.) las deduce en sus libros.En el siglo III a.C., Apolonio estudia las cónicas como una sección de un cono circular y caracteriza los puntos de la cónica según sus distancias a dos líneas y deduce una gran cantidad de propiedades geométricas a partir de su caracterización, todo en términos geométricos, sin notación algebraica (la manipulación de las cónicas es esencial- mente algebraica, disfrazada en formageométrica). Sus tratados sobre cónicas fueron una joya de la matemática antigua.

Pappus de Alejandría (a.C.290 - a. C.350) publicó una obra en la que se resume los conocimientos matemáticos de su época, recogiendo fragmentos, a veces íntegros, de las obras que constituían los fundamentos de la enseñanza de las matemáticas en la ciudad de Alejandría, hoy en gran parte perdidas. En lo querespecta a cónicas, su contribución más importante fue la introducción de los conceptos de foco, directriz y excentricidad de una cónica con lo que se puede dar una definición equivalente en términos de la proporción entre la distancia de los puntos de la cónica a un foco y la distancia a una directriz; esta proporción es constante y se denota con e y se le llama excentricidad de la cónica.Después de Pappus pasaron doce siglos en el que hubo una total pérdida de interés por las cónicas (desde los tiempos de Pappus hasta el siglo XVII). Luego vino un renovado interés en una época en que se tenían nuevos métodos (los de Desargues y los de la geometría analítica) y las necesidades de la nueva astronomía, por ejemplo.

Para los pioneros de laciencia moderna (Galileo, Kepler, Huygens y Newton), los estudios de Apolonio sobre la parábola, hipérbola y la elipse fueron el punto de partida para su exploración de las leyes de la naturaleza.
Con la introducción de la geometría analítica (geometría con coordenadas más la posibilidad de manipular y resolver ecuaciones algebraicas), las curvas planas se podían definir por unaecuación de dos variables. J. Wallis fue el primero en probar de manera clara, en 1655, que la ecuación

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

es la representación algebraica de las cónicas. Según los coeficientes A, B, C, D, E y F, hay curvas de diversa naturaleza. Por ejemplo, x2 + y2 = 0 la satisface solo el punto (x, y) = (0, 0) mientras que x2 + y2 + 1 = 0 no tiene...