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Teoría de Colas

El modelo se utiliza para procesos en que los clientes van llegando, esperan su turno para recibir el servicio, lo reciben y luego se marchan. Se describen mediante 5 componentes:[pic] La función de densidad de probabilidad del tiempo entre llegadas.
[pic] La función de densidad de probabilidad del tiempo de servicio.
[pic] El número de servidores.
[pic] Ladisciplina de ordenamiento de las colas.
[pic] El tamaño máximo de las colas.

Se considera un número infinito de clientes, tal que no varía la velocidad de entrada de los mismos. Para estossistemas se utiliza la notación A/B/m, dónde:
A: Densidad de probabilidad del tiempo entre llegadas.
B: Densidad de probabilidad del tiempo de servicio.
m: Número de servidores.
A su vez A y Bpueden ser:
M. Exponencial (Markov)
D. Determinístico (Todos los clientes tienen el mismo valor)
G. General (Probabilidad arbitraria).

Los sistemas típicos son M/M/1 y G/G/m. Nosotros vamos aconsiderar un sistema M/M/1.
La probabilidad de que lleguen n clientes durante un intervalo de longitud t, está dada por la ley de Poisson:
[pic]
Se puede demostrar que esta distribución dePoisson genera una densidad de probabilidad de tiempo entre llegadas de tipo exponencial.
La probabilidad [pic]de que un intervalo entre llegadas se encuentre entre [pic] es la probabilidad que noocurran llegadas durante el tiempo t por la probabilidad que ocurra una llegada en el intervalo [pic]:

[pic]
Lo mismo ocurre para el tiempo de servicio con un promedio de ( segundos/cliente.
Siconsideramos al sistema en equilibrio, donde [pic]es la probabilidad que existan k clientes en la cola (estrictamente cola+servidor), entonces tendremos:

[pic]
Por otra parte por tratarse deprobabilidades:
[pic]

El número promedio N de clientes en el sistema será entonces:

[pic]

El tiempo total T de permanencia en el sistema será entonces tal que:
[pic]

A modo de ejemplo...
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