Desigua

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ldadDesigualdad triangular
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Desigualdad del triángulo.
El teorema de desigualdad triangular afirma que en cualquier triángulo la longitud de uno de los lados no puede nunca superar a la suma de las longitudes de los otros dos.
Espacios vectoriales normados
El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados,obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular:
En todo espacio vectorial normado |
Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dos vectores.
En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:
Para cualquiera dosnúmeros a y b, |
cuya demostración es:
[editar] Demostración (caso real)
Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

Sumando ambas inecuaciones:

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto si y solo si en la línea de arriba queda:

[editar] Desigualdad triangular para un espacio n-dimensional
Está dada por la expresión:

donde m y n son númerosnaturales, y xi números reales.
Demostración
Ahora vamos a demostrar que la expresión anterior es cierta para cualquier n natural utilizando el método de Inducción matemática. ( Supondremos que para n=2 ya está demostrado en inicio del artículo)
1) Para n=1:
(si bien son iguales, es cierto que un número es menor o igual a sí mismo)
2) Ahora asumimos que se cumple para n=k, con k un número naturalmayor que uno.

* y probamos que la desigualdad también se cumple para n=k+1.
Partimos de la siguiente expresión:

* como es un número y xk + 1 es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para n=2

* luego, como | xk + 1 | es siempre positivo y hemos asumido que se cumple para n=k podemos afirmar que:

* juntando el termino k+1 con la sumatoria nos queda:

*Partimos de , nos movimos mediante pasos lícitos por igualdades y desigualdades del tipo "" hasta llegar a , por lo que podemos concluir que:

Teorema del coseno
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El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teoremarelaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: |
En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, llevael nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.[1]
El teorema y sus aplicaciones
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo es recto o, dicho de otro modo, cuando , el teorema del coseno se reduce a:

que es precisamente laformulación del teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.
El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar
* el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:
.
* los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
.
Estas fórmulas son difícilesde aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utlizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'
.
[editar] Demostraciones
[editar] Por desglose de áreas

Fig. 4a - Demostración del...
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