Desigualdad cauchy schwarz

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder popular para la educación
Universidad Arturo Michelena
San Diego – Edo. Carabobo



Materia: Álgebra Lineal

- Desigualdad deCauchy-Schwarz -

En todo espacio euclideo E, en el que se haya definido una norma (ésto es,
x E, norma de x = || x || = + - , con la notación usual para el producto interno o escalar) se verifica lasiguiente desigualdad, conocida con el nombre:

Desigualdad de Cauchy-Schwarz:

x, y E, | x • y | || x || • || y ||

Para el modo usual en que se suele demostrar esta desigualdad, se parte deuno de los axiomas asociados a la definición de producto interno, aquel que dice que
el producto interno de todo vector por sí mismo es siempre un n° real, mayor o igual que cero.

Y en la"demostración" se efectuará el producto interno de un vector z = x + λ y, combinación lineal de otros dos de E, x e y, a través de un parámetro λ, por sí mismo, desarrollándose a continuación, dichoproducto:

(x + λ y) • (x + λ y) 0

desigualdad que conduce a la obtención de un trinomio de segundo grado en λ, cuyo estudio, tras tener en cuenta el signo de su discriminante asociado y los diversoscaracteres de λ, conduce a la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

*1:
a) Usando el discriminante:
b) Usando los axiomas de espacio euclideo, mediante transformación del producto escalar del que
separte.

Esta demostración no resulta inmediata, por lo que, con frecuencia suele ser aprendida "de memoria". Por ello, se ha ideado la presente demostración:
Partiendo de los mismos planteamientos dela demostración usual:

x , y E , λ R, (x + λ y) • (x + λ y ) 0

se tendrá el signo > cuando x e y sean linealmente independientes, pues si ambos fuesen linealmente dependientes, o nulos almismo tiempo, el vector x + λ y podría ser (lo sería en la segunda de las hipótesis indicadas) nulo, con lo que la desigualdad se convertiría en igualdad. También vamos a suponer que y no sea nulo,...