Desigualdades
Las desigualdades juegan un rol fundamental en matemática. Existen
libros completos dedicados a su estudio, y en las competencias internacionales
de problemas aparecen confrecuencia. Todo solucionista experto debe estar
familiarizado con varias de ellas y con las técnicas generales para su manejo.
En lo que sigue se supone que el lector domina las propiedades básicas
de lasdesigualdades entre números reales.
La desigualdad fundamental satisfecha por cualquier número real, y de
la cual en cierto sentido se derivan todas las demás, es sencillamente
x2 ¸ 0;
conigualdad si y sólo si x = 0. Más en general
x2
1 + x2
2 + ¢ ¢ ¢ + x2
n+ ¸ 0;
con igualdad si y sólo si x1 = x2 = ¢ ¢ ¢ = xn.
Desigualdades
Una desigualdad es una oración matemática que contiene unsigno de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
no es igual
< menor que
> mayor que
menor o igual que
mayor o igual que
Una desigualdad que tienevariable se llama inecuación. Por ejemplo:
x + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ej. 3 < 4, 4 > 3
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemosque observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:
1 < 6
1 + 5 < 6 + 5
¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta.Desigualdades básicas de las matemáticas
1. Comenzaremos con la desigualdad triangular del valor absoluto de números reales
Para x, y números reales se cumple
| x + y | ≤ | x | + | y |.
Demostración:Para x e y se verifican las desigualdades:
- | x | ≤ x ≤ | x |
- | y | ≤ y ≤ | y |
Sumando ambas desigualdades tenemos
- (| x | +| y | ) ≤ x + y ≤ | x | + | y |
y de aquí se obtiene elresultado.
2. Desigualdad del cuadrilátero.
Si a, b, c y d son números reales, entonces se tiene
a b + c d ≤ [( a2 + c2 ) ( b2 + d2) ]½
Demostración: Elevando al cuadrado el miembro izquierdo se...
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