desigualdades

´
TALLER DE MATEMATICAS
DESIGUALDADES
Es bien sabido que en el conjunto de los n´meros reales existe una relaci´n de orden “natural”:
u
o
se dice que x < y cuando y − x es un n´mero positivo. Con esta relaci´n, el conjunto est´
u
o
a
“totalmente ordenado”, es decir si x = y, entonces, o bien x < y, o bien y < x.
En esta lecci´n comentaremos algunas desigualdades “famosas”: aquellas quese establecen entre
o
los distintos promedios de un conjunto de n´meros reales. Con ellas intentaremos resolver los
u
problemas que se proponen despu´s.
e
Dado un conjunto arbitrario de n n´meros positivos {x1 , x2 , . . . , xn }, se pueden definir varios
u
“promedios”. Los m´s comunes son los siguientes:
a
x1 + x2 + . . . + xn
.
n
√
Media geom´trica: M G = n x1 · x2 · . . . · xn .e
Media aritm´tica: M A =
e

Media arm´nica: M H =
o

n
.
1/x1 + 1/x2 + . . . + 1/xn

Media cuadr´tica: M C =
a

x2 + x2 + . . . + x2
n
1
2
.
n

En este momento, es natural preguntarse:
1. ¿Qu´ es un promedio?
e
2. ¿Por qu´ existen varios promedios?
e
A grandes rasgos, un promedio es una cantidad que representa la escala de valores de un grupo
de n´meros. Las caracter´u
ısticas b´sicas de un promedio son la homogeneidad (no puede variar
a
bajo un cambio en la escala de medida) y que su valor debe estar comprendido entre el m´ximo
a
y el m´
ınimo de las cantidades que representa.
Por otra parte, no todos los promedios representan con la misma fiabilidad el mismo conjunto
de n´meros. Dependiendo del caso, es m´s conveniente uno que otro.
u
a
Entre losdistintos promedios se pueden establecer las siguientes relaciones generales:
m´
ın{x1 , x2 , . . . , xn } ≤ M H ≤ M G ≤ M A ≤ M C ≤ m´x{x1 , x2 , . . . , xn }.
a
Vamos a demostrar la desigualdad M G ≤ M A, para lo cual distinguiremos dos casos:
1) El caso n = 2k , para todos los valores de k, lo demostraremos por inducci´n.
o
√
x1 + x2
. Para ello
En primer lugar, si k = 1, tenemos quedemostrar que x1 · x2 ≤
2
√
√ 2
partimos de la desigualdad evidente 0 ≤ ( x1 − x2 ) y desarrollamos. As´ pues,
ı
√
√
x1 + x2
0 ≤ x1 + x2 − 2 x1 · x2 =⇒ x1 · x2 ≤
.
2

Supondremos a continuaci´n que la desigualdad es cierta para cualquier valor de k, es
o
decir
x1 + x2 + . . . + x2k
√
2k x · x · . . . · x
1
2
2k ≤
2k
y veamos que tambi´n lo es para k + 1. Ahora bien,
e
x1 +x2 + . . . + x2k+1
2k+1

=
=

x k + x2k +2 + . . . + x2k +2k
x1 + x2 + . . . + x2k
+ 2 +1
2k+1
2k+1
x2k +1 + x2k +2 + . . . + x2k +2k
1 x1 + x2 + . . . + x2k
+
.
2
2k
2k

Aplicamos la hip´tesis de inducci´n a los dos sumandos. As´ obtenemos:
o
o
ı
k
k
1
x1 + x2 + . . . + x2k+1
≥
(x1 · x2 · . . . · x2k )1/2 + (x2k +1 + x2k +2 + . . . + x2k +2k )1/2 .
k+1
2
2

Estaultima expresi´n corresponde a la media aritm´tica de dos t´rminos. Como en este
´
o
e
e
caso se sabe que es mayor o igual que la media geom´trica de dichos t´rminos, resulta en
e
e
definitiva que
x1 + x2 + . . . + x2k+1
2k+1

≥

k

(x1 · x2 · . . . · x2k )(1/2 ) · (x2k +1 + x2k +2 + . . . + x2k +2k )(1/2
= (x1 · x2 · . . . · x2k+1 )1/2

k+1

k)

.

2) Para demostrar elcaso general, procedemos del siguiente modo:
Sea N = 2k + m, con 0 < m < 2k . A partir de la desigualdad (ya probada)
x1 + x2 + . . . + x2k+1
k+1
≥ (x1 · x2 · . . . · x2k+1 )1/2 ,
2k+1
sustituimos xi por (x1 + x2 + . . . + xN )/N , para i = N + 1, . . . , 2k+1 . Obtenemos entonces:
x1 +x2 +...+xN +(2k+1 −N )·(x1 +x2 +...+xN )/N
2k+1

≥ (x1 · x2 · . . . · xN )1/2

k+1

·

x1 +x2+...+xN
N

2k+1 −N
2k+1

.

Agrupando t´rminos y simplificando, llegamos a la desigualdad buscada
e
x1 + x2 + . . . + xN
≥ (x1 · x2 · . . . · xN )1/N .
N
Otras desigualdades muy utiles en variedad de problemas son las siguientes:
´
Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Dados dos conjuntos {x1 , x2 , . . . , xn }, {y1 , y2 , . . . , yn }, se verifica que
2
2
2
(x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn...