Determinacin de los valores y vectores caracteristicos de una matriz

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Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada.

INTRODUCCION

Los valores y vectores característicos también son conocidos como valores y vectores propios, sonvalores especiales que se calculan a una matriz en el que intervine los términos como determinante, polinomio característico y ecuaciones de infinitas soluciones.

En este documental se describenlas formulas utilizadas para el calculo de valores y característicos. También se incluyen varios ejemplos con el desarrollo paso a paso de estos problemas para su mejor comprensión.

DEFINICIONSea una transformación lineal . Un escalar es un valor propio si existe un vector no nulo tal que .

Cualquier vector no nulo que satisfaga
(EC.1)
es un vector propio asociado con elvalor propio .

La definición implica que para un vector propio el efecto de aplicarle la transformación lineal que amplificarlo por el escalar . Esto implica que un vector y el vector transformadoson colineales o paralelos y por lo tanto linealmente dependientes.

TEOREMA

es un valor propio de s y sólo si satisface la ecuación
(EC.2)

donde es la matriz identidad de igual ordenque

Como el determinante de una matriz no se afecta al multiplicar ésta por un escalar no nulo, podemos escribir
(EC.2.1)

EJEMPLOS

Ejemplo 1.

Obtener los valores y vectores propiosde la matriz

Construimos la matriz y hallamos su determinante:


Los valores propios de serán las raíces de

Los vectores propios asociados a deben cumplir (E.1):


Se creaentonces un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones:

Para obtener un vector propio asociado a podemos escoger arbitrariamente un valor para o para . Por ejemplo, si escogemos obtenemos. En consecuencia, un vector propio asociado a será :
en general

Los vectores propios asociados a también deben cumplir (E.1):


Se crea entonces un segundo sistema de ecuaciones...
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