Determinantes de una matriz

Determinantes de una matriz.



INTRODUCCIÓN.

El conocimiento de los determinantes nació en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales; pero en nuestros días tiene numerosas aplicaciones en distintas ramas de la matemática y de la física

Los determinantes tuvieron su debut en las matemáticasmucho antes que las matrices. El término matriz fue elaborado por James Joseph Sylvester, dando a entender que era “la madre de los determinantes”.

Estos fueron implantados en Occidente a partir del siglo XVI, las matrices no aparecieron hasta el siglo XIX. Cabe destacar que los chinos fueron los primeros en usar la tabla de ceros y en emplear un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce conla designación de Eliminación de Gauss-Jordan.

En la presente investigación se estudiaran los determinantes, sus propiedades, los determinantes de orden dos y orden tres, estos son los mas sencillos, la forma de resolverlos las distintos métodos para hacerlo. También se abarcara parte de lo que son las sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas homogéneos, y el método de eliminación deGauss-Jordan; cada uno de estos se estudiara detalladamente en el proceso de la investigación.

Determinantes.

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det. (A) o también por (las barras no significan valor absoluto).Determinantes De Una Matríz Cuadrada.

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.
Propiedades De Los Determinantes.

1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir: det A = detAt .
(Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas).

2. |A|=0    Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

4. Si en un determinante se cambian entresí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columnaestán formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

 =   +  

8. El determinante de un producto de matrices (de órdenes iguales) es igual al producto de sus determinantes.

Es decir det AB = det A. det B.

Determinantes de orden 2.
El determinante de una matriz cuadrada de segundo orden es igual al producto de los elementos de ladiagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Diagonal secundaria

Diagonal principal

Dada una matriz A= se llama determinante de A al numero real obtenido así: .

Se escribe así:

Ejemplos:
1) Calcular los determinantes correspondientes a cada una de las siguientes matrices:
* A=
Solución:A== 3.(-1) (-2).1 = 3 – (2) = 3+2 = 1
A= 1
Determinante de orden 3.
Son los que están formados por tres filas y tres columnas y su desarrollo consta de 6 productos de tres factores cada uno, con la condición de que cada elemento pertenezca a una fila y a una columna diferente.
Dada la matriz cuadrada de orden tres A = se llama determinante de A al número real obtenido aplicando...