Determinantes y espacio vectorial

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Determinantes
Dada una matriz cuadrada

se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
, con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i() esla signatura de la permutación)
También se suele escribir:

Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene: 

En este último caso, paraacordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea
Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene unasubmatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij.
Dada la matriz

la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 yla columna 1; es decir:

Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz complementaria del elemento aij , y se representa por ij
Se llama adjunto de aij , y serepresenta por por Aij, al número (–1)i+jij.
El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.
Por ejemplo,si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:

La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad.Nota
Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros

Propiedades de losdeterminantes

 Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que...
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