DETERMINANTES Y MATRICES



Determinantes y matriz inversa
13.1 Determinantes y matriz inversa
El determinante es una función que asigna a cada matriz cuadrada un número real. El dominio de dicha función es el conjunto de matrices cuadradas y el rango los números reales.

Vamos a ver cómo un número real es asignado a una matriz cuadrada. Primero, vamos a considerar los casos especiales de matrices de orden 2 y 3.A partir de ellos extenderemos la definición a matrices de orden .


Ejemplo 1: encuentra el determinante para la matriz .
Solución: aplicamos la fórmula anterior y obtenemos que .
Al multiplicar y sumar los términos, obtenemos que .
Determinante de una matriz 3x3

Ejemplo 2: encuentra el determinante para la matriz .
Solución: aplicamos el método de la lluvia, obtenemos que Almultiplicar los elementos de las diagonales principales y no principales, como se indican en las flechas, obtenemos que

Determinante de una matriz
El cálculo del determinante para una matriz de orden mayor a tres, requiere de otros métodos. De ellos, el primero que se estudia es el método de cofactores.
Sin embargo, antes de describir el método, es necesario presentar algunos conceptos quefacilitan su desarrollo.

Ejemplo 3: encuentra el menor y de la matriz .
Solución: eliminamos el primer renglón y la tercera columna de . Obtenemos que
Eliminamos el tercer renglón y la segunda columna de . Obtiene que

Ejemplo 4: encuentra el cofactor y de la matriz .

Solución: eliminamos el primer renglón y la tercera columna de . Obtenemos que

Eliminamos el tercer renglón y lasegunda columna de . Obtenemos que

Una vez que presentamos el concepto de cofactor, es posible calcular el determinante de una matriz de la siguiente manera:
Sea una matriz cuadrada de orden , entonces el se puede calcular seleccionando cualquier reglón o columna. Esto es, se multiplica cada elemento de la columna o renglón seleccionado por su cofactor correspondiente.
Ejemplo 5: encuentra eldeterminante de la matriz
Solución:


Matriz inversa
Existen varios métodos para encontrar la inversa de una matriz. Analizaremos el siguiente:

Ejemplo 6: encuentra la inversa para la matriz .
Solución: vamos aplicar cinco pasos para obtener la inversa de una matriz
1. Obtenemos el determinante de la matriz. Ya lo tenemos del ejemplo 2. Entonces
, por lo tanto A es invertible.
2.Calculamos los menores de la matriz C.

3. Calculamos la matriz de cofactores de C.

4. Obtenemos la matriz adjunta de C.

5. Encontramos la inversa de la matriz C.

Para comprobar que realmente obtuvimos la inversa, basta con probar que . Es decir,


Stefan Waner. Matemáticas finitas y Cálculo aplicado
Tutoriales en Línea: “Matriz inversa”, 2008. Consultado el 26 de junio 2009. Disponibleen:
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf1/frames3_3.html
Glosario
Determinante: es una función que asigna a cada matriz cuadrada un número real y se denota como .







Explicación del tema 14
I
Solución de sistemas de ecuaciones lineales, a través de la aplicación del método de la inversa y la regla de Cramer

14.1 Sistemas de ecuaciones lineales y su representaciónmatricial
En general un sistema de ecuaciones con incógnitas tiene la forma:

El sistema se puede representar matricialmente como AX=B, es decir:

Donde:
es la matriz de coeficientes.
es la matriz columna que contiene a las variables.
es la matriz columnas de términos independientes.

Ejemplo: dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

a) Representa el sistema de ecuacioneslineales en su forma matricial.
b) Distingue si la solución del sistema es única.
Solución:
a) Lo primero que debes hacer es arreglar este sistema de ecuaciones de tal forma, que los términos independientes (las constantes) se encuentren de un extremo de la igualdad y todos los términos con variables en el otro extremo de la igualdad y agrupados en orden. Es decir estarán primero las x, luego las y,...