Determinantes

LAS DETERMINANTES
Concepto
Una determinante es un número que se le asigna a una matriz, y que se obtiene mediante diversas operaciones específicas.
Cuando de una matriz de orden nxn, obtenemos de un Determinante que es igual a Cero (0), se denomina a esta como una “Matriz Singular”.
Notación
Para identificar una determinante, se utiliza los siguientes tipos de connotación:
│A│ = ; det(A)= ; D(A)=
Métodos para la Obtención de una determinante
Existen diversos métodos para el cálculo de la determinante de una matriz, en este compendio trataremos de explicar de forma clara y sencilla los métodos más conocidos, clasificándolos de acuerdo a su dimensión y complejidad de dichas matrices a calcular:
1. Matrices de 2x2
a) Método de productos elementales
2. Matrices de 3x3a) Método de Sarrus
b) Método de la Estrella
3. Matrices de Orden Superior nxn
a) Método de Cofactores o Laplace
b) Método de Chioss
c) Método de la Línea
d) Método del Barrido
e) Método de Equivalencia
1. Matrices de 2x2
Sea la matriz A, de dimensión 2x2:
a11 a12
a21 a22

A=

Para calcular este tipo de matrices, utilizamos el método de productoselementales.
1.a.- Método de productos elementales para matrices de 2x2
Para calcular la determinante de una matriz de 2x2, podemos manejarnos con la siguiente premisa:
El determinante en una matriz de 2x2, es igual al producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.

Desarrollando tenemos:
a11 a12
a21 a22

A= => (a11 . a22) – (a12 . a21)= │A│

Ejemplo:
1 3
48

A= => (1 . 8) – (3 . 4) = 8 – 12 = -4

3 8
-6 -5

B= => (3 . -5) – (8 . -6) = -15 – (-48) = -15 + 48 = 33

2. Matrices de 3x3
Sea la matriz B, de dimensión 3x3:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

B=

Para encontrar el determinante de una matriz de orden 3x3, contamos con dos métodos que mostramos a continuación:
2.a Método de Sarrus
Para la resolución deldeterminante de una matriz de 3x3, mediante el método de Sarrus, tomamos en cuenta la siguiente premisa que es aplicable solo para este método:
El determinante en una matriz de 3x3, es igual a la suma de los productos de las 3 diagonales principales, menos la suma de los productos de las 3 diagonales secundarias.

Pero antes, de abocarnos a esta premisa, seguiremos los siguientes pasos:
1ºCopiamos las dos primeras filas, en la parte inferior de la matriz, como se ve en el ejemplo:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23

A=

Logrando con esta operación, construir una matriz nueva de dimensión 5x3, y obteniendo a su vez 3 diagonales primarias y 3 diagonales secundarias.
2º Se procede a la aplicación de la premisa de resolución, y para esto conseguimosprimero la suma total de los productos de cada diagonal:
Diagonales Principales
(a11 . a22 . a33) + (a21 . a32 . a13) + (a31 . a12 . a23)
Diagonales Secundarias
(a13 . a22 . a31) + (a23 . a32 . a11) + (a33 . a12 . a21)
3º Tomamos el resultado de la suma de productos de la Diagonal Principal y le restamos la suma de productos de la Diagonal Secundaria:
│A│=[(a11.a22.a33)+(a21.a32.a13)+(a31.a12.a23)]–[(a13.a22.a31)+(a23.a32.a11)+(a33.a12.a21)]

Ejemplo:1 2 3
3 7 9
1 3 3
1 2 3
3 7 9

A=

Productos de la Diagonal Principal [(1.7.3)+(3.3.3)+(1.2.9)]
Productos de la Diagonal Secundaria [(3.7.1)+(9.3.1)+(3.2.3)]
Donde tenemos que:
│A│= [(1.7.3)+(3.3.3)+(1.2.9)] – [(3.7.1)+(9.3.1)+(3.2.3)]
│A│= [(21)+(27)+(18)] – [(21)+(27)+(18)]
│A│= [66] – [66]
│A│= 0 (Matrizsingular)

2.b Método de la Estrella
También conocido como Método del triangulo o Método de Productos Elementales. Es uno de los métodos más usuales para la resolución de matrices de orden 3x3.
Este método en particular cuenta con la siguiente premisa:
El determinante en una matriz de 3x3, es igual a la suma de los 3 productos elementales principales, menos la suma de los 3 productos elementales...