Determinantes

TABLA DE CONTENIDO

1. CONCEPTO DE DETERMINANTES
2. CALCULO DE DETERMIANTES
3. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
4. EJEMPLOS DE LAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1. DETERMINANTES

Enmatemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndoloaplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
Dada unamatriz cuadrada

se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
, con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de lapermutación). También se suele escribir:


2. CALCULO DE DETERMINANTES

2.1Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3

Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:


Eneste último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otropara los negativos:



3. PROPIEDADES DE LOS DETERMIANTES

Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinantees igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.
det (L1 + L'1,L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)
Ejemplo: Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dichonúmero.

det (k•L1, L2, L3...) = k•det (L1, L2, L3...)
Ejemplo: Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:

det (A•B) = det (A) • det (B)
Ejemplo:Si permutamos...