determinantes

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA
Depto. Ciencias Básicas

PRÁCTICA NO. 6
“PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Y MATRIZ INVERSA”
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Aplicar las propiedades de los determinantes y utilizarlas para calcular el determinante y la inversa
de una matriz (método de la adjunta).

INTRODUCCION
Sea S  1, 2,..., n el conjunto de enteros de 1 a n, ordenados en forma ascendente. Unarreglo j1 j2 ... jn de los elementos de S en algún orden sin omisiones o repeticiones es una
permutación de S.
Podemos colocar cualquiera de los n elementos de S en la primera posición, cualquiera de
los n-1 elementos en la segunda posición, cualquiera de los n-2 elementos restantes en la
tercera, y así sucesivamente, hasta llegar a la n-ésima posición, la cual sólo puede ser
ocupada porel elemento que queda. Así, hay
n(n 1)(n  2)...2*1  n!

(1)

permutaciones de S; denotamos el conjunto de todas las permutaciones de S como Sn.
La expresión de la ecuación (1) se denota n!

n factorial .

Una permuatación j1 j2 ... jn de S  1, 2,..., n tiene una inversión si un entero mayor jr
precede a uno menor js . Una permutación es par o impar si su número total de inversioneses par o impar respectivamente.
Sea A   aij  una matriz de nxn . Definimos el determinante de A (que se escribe det(A) o
 

A ) como
det( A)  A   ()a1 j1 a2 j2 ...anjn

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Donde la suma varía sobre todas las permutaciones j1 j2 ... jn del conjunto S 1, 2,..., n . El
signo se considera + o - según si la permutación j1 j2 ... jn es par o impar.
En otras palabras, sea A una matriz cuadrada de nxn . La función determinante es la suma
de todos los productos elementales de A (productos de n factores que no corresponden al
mismo renglón ni a la misma columna), el número así obtenido de denomina determinante
de A.

a
Así, el determinantede la matriz A   11
 a21

a12 
está dado por det( A)  A  a11a22  a21a12
a22 


El determinante de una matriz de orden 1 es definido simplemente como el elemento de la
matriz. Para definir el determinante de una matriz de órdenes mayores que 2, es
conveniente usar la noción de menores y cofactores.
Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor M ij de el elemento aij es eldeterminante
de la matriz obtenida al eliminar el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de A. El cofactor
C ij esta dado por Cij  (1)i  j M ij

De tal manera que si A es una matriz cuadrada (de orden 2 o mayor), entonces el
determinante de A es la suma de los elementos de el primer renglón de A multiplicados por
sus cofactores. Así que.
n

det( A)  A   a1 jC1 j  a11C11  a12C12  ... a1nC1n
j 1

A este procedimiento se le conoce como expansión de cofactores, que en el caso anterior
se ha denotado en el primer renglón. Sin embargo, el determinante de la matriz A puede ser
evaluado por expansión en cualquier renglón o en cualquier columna de A.
De manera general tenemos que si A es una matriz cuadrada de orden n. Entonces el
determinante de A esta dado por:
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n

det( A)  A   aijCij  ai1Ci1  ai 2Ci 2  ...  ainCin

Expansión en el i-ésimo renglón de A

j 1

n

det( A)  A   aijCij  a1 jC1 j  a2 jC 2 j  ...  anjC nj

Expansión en la j-ésima columna de A

i 1

Si A es una matriz triangular de orden n,entonces el determinante está dado por el
producto de los elementos de la diagonal principal. Así que:

det( A)  A  a11a22 a33 ...ann

Es evidente la facilidad de evaluar el determinante de una matriz triangular, por lo tanto se
simplificaría el cálculo de un determinante si se reduce la matriz original a una triangular
por aplicación de operaciones elementales de renglón.
A continuación se...