Determinantes

DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS
Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:
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= a11
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Así, el determinante de una matriz 1 ð 1 A = (a11)es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11.
Ejemplos:
a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) =-3, det (3x+5) = 3x+5.
b)
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DETERMINANTES DE ORDEN TRES
Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue:[pic]
a12a21a33 - a32a23a11
Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo(conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).
Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:
[pic][pic]
Ejemplo:
Calcular el valor del determinante:
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= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63
El determinante de la matriz 3 ð 3 A = (ai j ) puedereescribirse como:
det (A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) =
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que es una combinación lineal de tresdeterminantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la formasiguiente:
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Nótese que cada matriz 2 ð 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.
Ejemplo:
Parademostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :
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= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63