Determinantes

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Propiedades de los determinantes:

Leer atentamente el tótem 2.2 del texto “algebra lineal (S. Grossman)” y responder a los siguientes enunciados.

I. Los siguientes enunciados, representan algunas propiedades de los determinantes. Complétalos y realizar en cada caso un ejemplo que lo verifique:


1) si una matriz B se obtiene de la matriz A multiplicando loselementos de un renglón ( i ) por c, entonces: detB = c detA.


Ejemplo:

1 -1 2 1 -1 2
|A| = 3 1 4 = 3 1 4 = (5-12) – (-8-15) = 16
0 -2 5 0 -2 5
1 -1 2
3 1 4


1 -1 2 1 -1 2
|B| = 6 2 8 = 2 x 3 1 4 = 2 x |A| = 2 x 16 = 32
0 -2 5 0 -2 52) si la matriz B se obtiene de la matriz A intercambiando dos renglones ( i ), entonces detB = (-1) detA = -detA.


Ejemplo:




1 -1 2 1 -1 2
|A| = 3 1 4 = 3 1 4 = (5-12) – (-8-15) = 16
0 -2 5 0 -2 5
1 -1 2
3 1 4




3 1 4 1 -1 2
|B| = 1 -1 2= (-1) x 3 1 4 = (-1) x |A| = (-1) x 16 = -16
0 -2 5 0 -2 5




3) si la matriz B se obtiene de la matriz A sumando un múltiplo de un renglón ( i ), a otro renglón ( i+1), entonces: Det. = detA.


Ejemplo:




1 -1 2 1 -1 2
|A| = 3 1 4 = 3 1 4 = (5-12) – (-8-15) = 16
0 -2 5 0 -2 51 -1 2
3 1 4




1 -1 2 1 -1 2
|B| = 3 1 4 R2 2R1+R2 = 5 -1 8 = |A| = 16
0 -2 5 0 -2 5






II. Analizando las propiedades enunciadas y completadas en I, qué puede decir acerca de la relación del determinante y las operaciones elementales del renglón de una matriz ¿A que se puedeextender?








III. Identificar tres propiedades que vinculen al determinante con algunas operaciones de matrices. Enunciarlas y dar en cada caso un ejemplo que lo verifique.


Propiedad 1: det (AB) = det A x det B = |A| |B|




1 -1 2 1 -2 3
A = 3 1 4 B = 0 -1 4
0 -2 5 2 0 -2




1 -1 2 1-1 2
|A| = 3 1 4 = 3 1 4 = (5-12) – (-8-15) = 16
0 -2 5 0 -2 5
1 -1 2
3 1 4




1 -2 3 1 -2 3
|B| = 0 -1 4 = 0 -1 4 = (2-16) – (-6) = - 8
2 0 -2 2 0 -2
1 -2 3
0 -1 4










1 -1 2 1 -2 35 -1 -5
AB = 3 1 4 0 -1 4 = 11 -7 5
0 -2 5 2 0 -2 10 2 -18






5 -1 -5 5 -1 -5
|AB| = 11 -7 5 = 11 -7 5 = (630-110-50) – (350+50+198) = - 128
10 2 -18 10 2 -18
5 -1 -5
11 -7 5




|A| |B| = 16 x (- 8) = - 128


Propiedad 2: det C = det A + det B = |A| + |B|1 -1 2 1 -6 2 1 -1 - 6 3
A = 3 1 4 B = 3 2 4 C = 0 1 + 2 4
0 -2 5 0 4 5 2 -2 + 4 -2




1 -1 2 1 -1 2
|A| = 3 1 4 = 3 1 4 = (5-12) – (-8-15) = 16
0 -2 5 0 -2 5
1 -1 2
3 1 4




1 -6 2 1 -6 2|B| = 3 2 4 = 3 2 4 = (10+24) – (16 -90) = 108
0 4 5 0 4 5
1 -6 2
3 2 4


1 -7 2 1 -7 2
|C| = 3 3 4 = 3 3 4 = (15+12) – (8-105) = 124
0 2 5 0 2 5
1 -7 2
3 3 4












|C| = |A| + |B|


124 = 16...