determinantes

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTRIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSITARIA
ALDEA UNIVERSITARIA “FRANCISCO DE MIRANDA”
MISIÓN SUCRE







































Guanare, 2014

DETERMINANTES
Dada una matriz cuadrada A, llamamos determinante al escalar (operación entre dos vectores cuyoresultado es el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que lo forman; y producto de dos vectores) que resulta de obtener todos los productos posibles de la matriz, con una serie de restricciones.
Los determinantes, representados por ó , son herramientas muy útiles en matemáticas y en física: sistemas de ecuaciones lineales, matrices, geometría, etc.
Los determinantes se escriben entreplecas, y las matrices entre paréntesis, .
• FORMAS MULTILINEALES:
Las formas multilineales se aplican sobre conjuntos de n vectores pertenecientes a un espacio vectorial E. Dan como resultado un elemento del cuerpo sobre el que está definido E.
Si uno de los vectores sobre los que se aplica es el resultado de la adición de dos vectores o producto de un elemento k por un vector se verifican lassiguientes propiedades, ya que una fórmula multilineal T se define como una aplicación entre y k, es decir::
, y se cumple que
Además,,
Y se cumple que
Las formas multilineales se aplican sobre conjuntos de n vectores de un espacio vectorial y dan como resultado un elemento del cuerpo sobre el que está definido el espacio vectorial.
El producto escalar de dos vectores de por ejemplo, esuna forma multilineal llamada bilineal, ya que se aplica sobre un producto cartesiano de dos factores, Si denotamos por p el producto escalar, la forma bilineal, cumplirá las siguientes propiedades de linealidad:
Una forma multilineal T en un espacio vectorial E es alterada si y sólo si el resultado es cero, así:
Una propiedad fundamental es el valor de una forma multilineal alterada T sobre unconjunto de n vectores del espacio vectorial E cambia de signo si se intercambia la posición de estos dos vectores objeto, con lo cual podemos deducir que si en una forma multilineal alterada se hace un nº par de intercambios de posiciones entre los vectores sobre los que se aplica, el valor de esta forma multilineal se mantiene, es decir, no varía.
REGLA DE SARRUS
La regla de Sarrus es unmétodo fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3. Recibe su nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus.
Considérese la matriz de 3×3:

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:
En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de lasdiagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:


Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices de 2×2:

Esta regla mnemotécnica es un caso especial de la fórmula de Leibniz y ha sido conocido que no puede aplicar para matrices mayores a de 3×3. Sin embargo, en octubre del año 2000, elmatemático Gustavo Villalobos Hernández de la Universidad de Guadalajara, en México, encontró un método para calcular el determinante de una matriz de 4×4, sin reducir a determinantes de 3×3 con la matriz adjunta y el menor complementario. Su resultado es una extensión completa de la regla de Sarrus, ya que utiliza el mismo método, obteniendo directamente los 24 términos requeridos para su cálculo.REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y...