Determinantes

Grado en Economía MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA I (2252) Relación 4 de Prácticas Tema: Reducción de matrices reales

Ejercicios
Ejercicio 1. Hallar los valores propios y los vectores propios de las siguientes matrices y decir si son diagonalizables:
0 1⎞ ⎛2 ⎜ ⎟ 1 1⎟ . a) A = ⎜ 1 ⎜ 1 − 1 3⎟ ⎝ ⎠
⎛ 0 − 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 1 − 1⎟ . c) A = ⎜ − 2 ⎜− 2 2 2⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ b) A = ⎜ 0 2 1 ⎟ . ⎜0 1 2⎟ ⎝ ⎠⎛ 1 − 1 3⎞ ⎜ ⎟ d) A = ⎜ 1 2 0⎟ . ⎜0 − 3 3⎟ ⎝ ⎠ 2 0⎞ ⎛0 ⎜ ⎟ f) A = ⎜ 0 0 2⎟ . ⎜2 − 6 6 ⎟ ⎝ ⎠

2 0⎞ ⎛− 2 ⎜ ⎟ e) A = ⎜ 0 − 2 0⎟ . ⎜ 0 3 − 2⎟ ⎝ ⎠

Ejercicio 2. Decir por qué son diagonalizables las siguientes matrices y diagonalizarlas:
⎛ 1 3 3⎞ ⎜ ⎟ a) A = ⎜ 3 1 3 ⎟ . ⎜ 3 3 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛3 2 1⎞ ⎜ ⎟ b) A = ⎜ 2 6 2 ⎟ . ⎜1 2 3⎟ ⎝ ⎠

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⎛ 3 − 1 0⎞ ⎜ ⎟ c) A = ⎜ − 1 3 0⎟ . ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠

⎛0 3 0 ⎞ ⎜ ⎟ d) A = ⎜ 3 0 4 ⎟ . ⎜0 4 0 ⎟ ⎝ ⎠

Ejercicio 3. Para las siguientes matrices, hallar una forma canónica B y una matriz de paso P tal que P − 1 AP = B . Comprobar que P es efectivamente una matriz de paso. ⎛2 6 ⎞ a) A = ⎜ ⎜ 3 − 1⎟ . ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 2⎞ c) A = ⎜ ⎜ − 1 1⎟ . ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 4 − 1⎞ b) A = ⎜ ⎜ 1 −2⎟ . ⎟ ⎝ ⎠
⎛1 − 5 0⎞ ⎜ ⎟ d) A = ⎜ 1 − 3 0 ⎟ . ⎜0 0 2 ⎟ ⎝ ⎠

Ejercicio 4. Para las matrices que aparecen en los apartados del ejercicio 1, hallar una forma canónica B y una matriz de paso P tal que P − 1 AP = B .

Preguntas TEST
1. Dos valores propios de una matriz A de orden 3 son λ = −1 y λ = 2 . Si tr( A ) = 3 , entonces el determinante de A vale: a) det( A ) = −4 . b) det( A ) = 4 . c) det(A ) = 3 . 2. Sea λ = 2 − 3i un valor propio de una matriz A de orden 3. Si tr( A ) = 5 , entonces el determinante de A vale: a) det( A ) = 7 . b) det( A ) = 13 . c) det( A ) = 14 .

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3. Dos valores propios de una matriz A de orden 3 son λ = 3 y λ = −1 . Si det( A ) = 3 , entonces: a) Asiempre es diagonalizable. b) A puede ser diagonalizable. c) A nunca es diagonalizable. 4. Señalar la afirmación verdadera: a) Dos vectores propios linealmente independientes pueden corresponder al mismo valor propio. b) Dos valores propios distintos pueden tener asociado un mismo vector propio. c) Dos vectores propios linealmente independientes corresponden a valores propios distintos. 5. Sean λ = 1 yλ = −4 (doble) los valores propios de una matriz A de orden 3. Entonces:
0 ⎞ ⎛1 0 ⎜ ⎟ a) A es semejante a la matriz ⎜ 0 − 4 0 ⎟ . ⎜0 0 − 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛− 4 0 0⎞ ⎜ ⎟ b) A es semejante a la matriz ⎜ 0 − 4 0 ⎟ . ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛− 4 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ c) A es semejante a la matriz ⎜ 0 1 0 ⎟ , si A es simétrica. ⎜ 0 0 − 4⎟ ⎝ ⎠

6. Una matriz de orden 4 tiene los valores propios λ = 1 (doble) y λ = 2 (doble).Entonces: a) Un subespacio propio puede tener dimensión 1. b) Los subespacios propios tienen dimensión 2. c) Puede haber un subespacio propio de dimensión 3. 7. Sea ( 1, 0 , 0 ) un vector propio correspondiente al valor propio λ = −1 . Entonces el vector ( −2 , 0 , 0 ) es un vector propio asociado al valor propio: a) λ = 2 . b) λ = 1 . c) λ = −1 .

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8. Una matriz simétrica de orden 4 tiene los valores propios λ = 1 (doble) y λ = 2 (doble). Entonces: a) Un subespacio propio puede tener dimensión 1. b) Los dos subespacios propios tienen dimensión 2. c) Puede haber un subespacio propio de dimensión 3. 9. ¿Cuál de los siguientes polinomios puede ser el polinomio característico de una matrizsimétrica de orden 3?: a) A − λI = − ( λ − 1 ) 2 ( λ − 2 ) . b) A − λI = − λ3 + 1 . c) A − λI = λ( λ2 − 1 ) . 10. Sea A una matriz de orden n . Señalar la respuesta correcta: a) A tiene n valores propios reales ⇒ A es simétrica. b) A diagonalizable ⇒ A tiene n valores propios reales. c) A tiene n valores propios reales ⇒ A es diagonalizable.

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS
Ejercicio 1 a) Los...