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TEOREMAS DE BOOLE


Definición

Un álgebra de Boole es un conjunto en el que:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x + y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)  que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
y3- Tiene las siguientes propiedades:
    a) Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
    b) Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
    c) Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
    d) Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
    e) Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz 
    f) Distributiva respectoa la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
    g) Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
    h) Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
    i) Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
    j) Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

Propiedades del álgebra de Boole

Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
Idempotente respecto ala segunda función: xx = x
Maximalidad del 1: x + 1 = 1
Minimalidad del 0: x0 = 0
Involución: x'' = x
Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

Función booleana

Una función booleana es unaaplicación de A x A x A x ....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.
Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.
Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.
Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones.
El número posible de casos es 2n. 
Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:
Votos         Resultado
ABCD
1111              1
1110              11101              1
1100              0
1011              1
1010              0
1001              0
1000              0
0111              1
0110              0
0101              0
0100              0
0011              0
0010              0
0001              0
0000              0 
Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales a 1.
En nuestro ejemplo lafunción booleana será:
f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD


Diagramas de Karnaugh

Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas.
Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes, siempre que el número de 1 sea potencia de 2. 

Teoremas
Existen muchos teoremas en el álgebra de Boole, pero todos ellosse pueden deducir a partir de otros con ayuda de las operaciones y propiedades básicas. Pero dada su utilidad es muy importante recordar el siguiente, el Teorema de De Morgan:
2.2. TABLAS DE VERDAD
Representación
Son unas representaciones gráficas de todos los casos que se pueden dar en una relación algebraica y de sus respectivos resultados.
[pic]INDICE
3.1. Introducción
3.2. Funciones básicas booleanas
3.3. Postulados del Álgebra de Boole
3.4. Teoremas del Álgebra de Boole
3.5. El Álgebra de Boole en lenguaje de contactos

[pic]
3.1. INTRODUCCIÓN
George Boole creó el álgebra que lleva su nombre en el primer cuarto del siglo XIX. Pretendía explicar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente humana por...
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