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Universidad de La Frontera
´
Facultad de Ingenier´ Ciencias y Administracion
ıa
´
Departamento de Matematica y Estad´
ıstica

Soluci´n Prueba N◦4
o
´
Algebra (IME006)
Ingenier´ Civilesıas
Profesores: Mar´ Teresa Alcalde, Ra´l Benavides, C´sar Burgue˜o, Erwin Henr´
ıa
u
e
n
ıquez, Elizabeth
Henr´
ıquez, Marcia Molina, Floridemia Salazar, Alex Sep´lveda.
u
02 de Septiembre de2009.
1. Dado el polinomio P (X) = X 4 − 6X 3 + 14X 2 − 14X + 5, factorice en R [X] y en C [X],
sabiendo que 2 − i es una de sus ra´
ıces.
Soluci´n.
o
Sabemos que si 2 − i es ra´ de P (X),entonces tambi´n lo es 2 + i. Luego, P (X) es
ız
e
divisible por (X − (2 − i)) (X − (2 + i)) = X 2 − 4X + 5. As´ podemos escribir:
ı,
P (X) = X 2 − 4X + 5

X 2 − 2X + 1 = X 2 − 4X + 5 (X − 1)2 .Por tanto, la factorizaci´n en R [X] es:
o
P (X) = X 2 − 4X + 5 (X − 1)2 ,
y en C [X] es:

P (X) = (X − (2 − i)) (X − (2 + i)) (X − 1)2 .

2. Descomponga en fracciones parciales en R [X]:

X4 + 2X 2 − 8X + 4
.
X3 − 8

Soluci´n.
o
Como el grado del polinomio del numerador es mayor al grado del polinomio del denominador
debemos realizar la divisi´n respectiva, obteni´ndo:
o
e
2X2 + 4
X 4 + 2X 2 − 8X + 4
=X+ 3
.
X3 − 8
X −8
Luego, podemos escribir:
2X 2 + 4
2X 2 + 4
A
BX + C
=
=
+ 2
.
X3 − 8
(X − 2) (X 2 + 2X + 4)
X − 2 X + 2X + 4

´
Algebra Anual 2009,UFRO.

1

Multiplicando por (X − 2) (X 2 + 2X + 4) y ordenando adecuadamente obtenemos:
2X 2 + 4 = (A + B) X 2 + (2A − 2B + C) X + (4A − 2C) ,
de donde, igualando coeficientes obtenemos elsistema lineal:
A+B = 2
2A − 2B + C = 0
4A − 2C = 4
cuya soluci´n es A = 1, B = 1 y C = 0. Por tanto,
o
1
X
X 4 + 2X 2 − 8X + 4
=X+
+ 2
.
3−8
X
X − 2 X + 2X + 4
3. Dado W = {a + bt + ct2 +dt3 ∈ R3 [t] ; d = b − a}
a) Pruebe que W es un subespacio vectorial de R3 [t].
b) Encuentre el conjunto escalonado de generadores de W .
Soluci´n.
o
a) Debemos mostrar los tres puntos caracter´...