Diagonalizacion algebra lineal

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´ EJERCICIOS PROPUESTOS DE METODOS ´ MATEMATICOS I
˜ ECONOMIA Y LADE (MANANA Y TARDE) TEMA 3: An´lisis Est´tico o de Equilibrio (III): a a Diagonalizaci´n de matrices. Procesos secuenciales lineales. o

Ejercicio 1. Dadas las matrices siguientes:     4 1 1 1 2 0 a)  1 4 1  b)  −1 4 0  1 1 4 −3 3 3 0  2 c)   0 0  1 1 0 0  5 9 6 8   0 3  1 −2 1  0 d)   0 0  1 2 0 0 0 1 3 0 5 1   2  4

1) Calculad los valores propios. 2) Determinad si son diagonalizables, y en caso afirmativo obtener la matriz de valores propios y la matriz diagonal. Ejercicio 2. Determinad para que valores de  5 0  0 −1 A= 3 0 k la matriz A es diagonalizable.  0 0  k

o a Ejercicio 3. Determinad, en funci´n de los valores del par´metro a, si la matrices siguientes son diagonalizables. Enlos casos afirmativos, determinad la matriz de vectores propios y la matriz diagonal.  a 1 1 a)  1 a 0  0 0 a   a 0 a b)  1 a + 1 −2  −1 −1 2   5 0 0 c)  0 −1 0  3 0 a 

1

Ejercicio 4. Para cada una de las siguientes matrices: 1 0 4 a)  0 2 0  2 0 −1   2 0 1 b)  0 2 −1  0 0 3   1  2 c)   −1 3   0 0 0 1 0 0   1 −2 0  1 1 −2

ıg¨ 1) Aver´ uese si es diagonizable. 2)D´se la matriz de vectores propios y la matriz diagonal equivalente. e Ejercicio 5. Calculad el valor de los par´metros a, b y c para que la matriz A sea a diagonalizable, teniendo en cuenta que la matriz de vectores propios es la matriz B.     a 1 1 1 −1 0 2 0  B= 1 0 1  A= b c −1 1 0 1 −1 − 1 a Ejercicio 6. Determinad los valores de los par´metros a, b y c para que las matricessiguientes sean diagonalizables. En los casos en los que sea posible obt´ngase la e matriz de vectores propios y la matriz diagonal.     a b 0 −a −1 −a 0  a)  0 1 2  b)  1 0 0 0 2 0 1 a     a c 0 a 1 0 c)  2b 0 2c  d)  0 3 0  0 b −a b 0 1 e a Ejercicio 7. Estudiad para qu´ valores de los par´metros a y b la matriz A es diagonalizable.   5 0 0 A =  0 −1 a  3 0 b Ejercicio 8. Dada lamatriz  a b 0  0 1 2 , 0 0 2  donde b = 0. Calculad los valores y vectores propios asociados. ¿Para qu´ valores e de a y b es diagonalizable ?

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Ejercicio 9. Dada la matriz  2 0 3 0 : A= 0 0 −1 1 −2 C´lculese: a 1) An . 2) La matriz inversa de A. Ejercicio 10. Determinad la f´rmula de recurrencia que permita obtener la poo tencia n-´sima de la matriz A. e A= −7 −6 12 10 

u eEjercicio 11. Calc´lese la potencia n-´sima de la matriz B.   1 1 −2 1  B =  −1 2 0 1 −1 e Ejercicio 12. Sea A una matriz sim´trica tal que         2 8 1 5 A ·  1  =  6  A ·  1  =  4 . 0 4 0 2 Calc´lese la matriz A si el vector (2, 1, 2) es uno de sus vectores propios. u Ejercicio 13. Dada la matriz sim´trica A verificando: e     2 2 a) A ·  0  =  0  . 0 2 b) v = (1, −1, 0) esun vector propio de A. c) det(A) = 0. Calculad la matriz A y la potencia A50 .

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Ejercicio 14. Dada la matriz A= 1 a 2 b ,

calc´lense los valores de los par´metros a y b de forma que el vector (−2, 1) sea u a vector propio de A asociado a un cierto valor propio k. Ejercicio 15. Compru´bese si es diagonalizable la matriz e   1 0 0  0 1 −3  0 0 −2 y calc´lese 2A8 + 5I3 . u Ejercicio16. Constr´yase una matriz cuyos valores propios sean 1, −1 y 2, con u vectores propios asociados, respectivamente: (1, 0, −1), (−1, 1, 0) y (3, −3, 1)

e Ejercicio 17. Obt´ngase una matriz P que cumpla que P AP −1 sea una matriz diagonal, siendo A la matriz:   1 −1 8  1 1 1  2 0 3 ıa n Ejercicio 18. Estudios de sociolog´ laboral efectuados cada a˜o determinan que de los economistas existentesel primer a˜o del estudio (k = 0), el 70 % trabaja n para la administraci´n p´blica (x(0)) y el 30 % para la empresa privada (y(0)). o u Los mismos estudios realizados un a˜o despu´s han determinado que el 80 % de los n e economistas siguen en la misma actividad y el 20 % restante cambian de actividad, es decir que los que se dedicaban a trabajar en la administraci´n p´blica pasan a o u...
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