diagonalizacion

Problemas y Ejercicios Resueltos.
Tema 6: Diagonalizacion.

Ejercicios
1.- Sea f ∈ End V . Demostrar que la suma de subespacios f -invariantes es f -invariante.
Soluci´n. Sean U, W dos subespacios f -invariantes de V . Entonces, por definici´n de f -invariantes, se
o
o
cumple
f (U ) ⊆ U
(1)
y
f (W ) ⊆ W.

(2)

Ahora, U + W es subespacio de V , por ser suma de subespacios, y f (U +W ) = f (U ) + f (W ), por ser f
lineal y de (1) y (2) concluimos:
f (U + W ) = f (U ) + f (W ) ⊆ U + W,
o sea, U + W es tambi´n f -invariante.
e
2.- Calcular los valores propios reales λ y los subespacios fundamentales V (λ) para f ∈ End (R3 ) definido
por f ((x, y, z)) = (−x − z, −7x + 4y + 13z, x − 3z).
Soluci´n. Sabemos que los valores propios son las ra´ del polinomio caracter´
o
ıcesıstico y ´ste viene dado
e
por el polinomio caracter´
ıstico de cualquier matriz asociada a f . Empleando la notaci´n por filas, si elegimos
o
la matriz asociada a f respecto de la base can´nica, ´sta viene dada por:
o
e


−1 −7
A= 0
4
−1 13


1
0 
−3

y el polinomio caracter´
ıstico de esta matriz es

χA (x) =

x+1
0
1

7
−1
x−4
0
= (x − 4)(x + 2)2 .
−13 x +3

Por tanto, los valores propios de f son 4 y -2.

´
Introducci´n al Algebra Lineal.
o

M.A. Garc´ S´nchez y T. Ram´
ıa a
ırez Alzola.

Proyecto OCW de la UPV/EHU.

2

Diagonalizacion
Calculamos los subespacios fundamentales
V (4) = {(x, y, z) ∈ R3 |f ((x, y, z)) = 4(x, y, z)}
= {(x, y, z) ∈ R3 |(−x − z, −7x + 4y + 13z, x − 3z) = 4(x, y, z)}
= {(x, y, z) ∈ R3 |5x + z = 0,−7x + 13z = 0, x − 7z = 0}
= {(0, y, 0) ∈ R|y ∈ R}
V (−2) = {(x, y, z) ∈ R3 |f ((x, y, z)) = −2(x, y, z)}
= {(x, y, z) ∈ R3 |x − z = 0, −7x + 6y + 13z = 0}
= {(x, −x, x)|x ∈ R}

3.- Sea A una matriz diagonalizable con forma diagonal D y matriz de paso P . Demostrar que An es
diagonalizable con forma diagonal Dn . Deducir cu´nto vale An .
a
Soluci´n. Si A es diagonalizable con forma diagonal Dy matriz de paso P significa que A = P DP −1 ,
o
luego An = P Dn p−1 y, por tanto, An es diagonalizable con forma diagonal Dn .

4.- Probar que, si A es diagonalizable y A semejante a B, entonces B es tambi´n diagonalizable.
e
Soluci´n. Si A es diagonalizable, entonces existe D matriz diagonal y P matriz de paso tal que
o
A = P DP −1 .

(1)

Por otro lado, si A semejante a B, entoncesexiste Q matriz de paso tal que
A = QBQ−1 .
De (1) y (2) se sigue

(2)

QBQ−1 = P DP −1 =⇒ B = Q−1 P DP −1 Q.

Pero T = Q−1 P es una matriz inversible (por ser el producto de dos matrices inversibles) tal que B = T DT −1 ,
asi que B es diagonalizable con forma diagonal D.


−1
5.- Estudiar si A =  0
−1
afirmativo, determinar su



1 −3
−7 1
4
0  y B =  3 −5
13 −3
6 −6forma diagonal y una matriz de


3
3  son diagonalizables sobre R. En caso
4
paso.

Soluci´n. Sabemos que A ∈ M atn×n (K) es diagonalizable si y s´lo si se verifican las dos condiciones
o
o
siguientes:
(i) Existen λ1 , . . . λn ∈ K, (no necesariamente distintos) tales que χA (x) = (x − λ1 ) . . . (x − λn ).


−1 −7 1
(ii) Para cada valor propio λ, se verifica dim(VA (λ)) = m(λ).Para la matriz A =  0
4
0  su
−1 13 −3
polinomio caracter´
ıstico viene dado por
χA (x) =

x+1
0
1

7
x−4
−13

´
Introducci´n al Algebra Lineal.
o

−1
0
= (x − 4)(x + 2)2 ,
x+3

M.A. Garc´ S´nchez y T. Ram´
ıa a
ırez Alzola.

Proyecto OCW de la UPV/EHU.

Diagonalizacion

3

luego se escinde sobre R y se cumple (i). Pero,
VA (−2) = {(x y z) ∈ R3 |(x y z)A =−2(x y z)}
= {(x y z) ∈ R3 |x − z = 0, −7x + 6y + 13z = 0}
= {(x − x x)|x ∈ R}.
As´ que dim(VA (−2)) = 1 < 2 = m(−2) y A no es diagonalizable.
ı
El polinomio caracter´
ıstico de B es

χB (x) =

x−1
−3
−6

3
x+5
6

−3
−3 = (x − 4)(x + 2)2
x−4

Ahora,
VB (−2) = {(x y z) ∈ R3 |(x y z)B = −2(x y z)}
= {(x y z) ∈ R3 |x + y + 2z = 0}
= {(x − x − 2z z) ∈ R3 |x, z ∈ R} =< (1 −...