diagrama bimanual
o
Formulaci´n de Modelos de Programac´n Lineal
o
o
17 de julio de 2004
La Programaci´n Lineal (LP) es una herramienta para resolver problemas de optimizaci´n que se
o
o
caracterizan por tener como funci´n objetivo y restricciones combinaciones lineales de las variables de
o
decisi´n. La principal ventaja radica en que existe un algoritmoeficiente (SIMPLEX) para resolver
o
este tipo de modelos.
1.
Conceptos B´sicos
a
Consideremos el siguiente ejemplo para describir los t´rminos presentes en todo problema de LP.
e
Ejemplo 1.
Una muebler´ produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en $27000 y requiere $10000
ıa
en materiales, adem´s, el costo de unitario por mano de obra se estima en $14000. En el caso de
alas sillas, su precio de venta es de $21000 y los costos son de $9000 y $10000, en materiales y mano
de obra respectivamente. La fabricaci´n de cada producto requiere de dos tipos de labores: carpinter´
o
ıa
y terminaciones. Una mesa requiere de 1 hora de carpinter´ y 2 horas de terminaciones. Una silla
ıa
requiere de 1 hora de carpinter´ y 1 hora de terminaciones.
ıa
Cada semana, lamuebler´ puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden
ıa
dedicar hasta 100 horas a las terminaciones y hasta 80 horas a la carpinter´ La demanda por mesas
ıa.
no est´ limitada, mientras que la demanda semanal m´xima por sillas es de 40.
a
a
La muebler´ desea maximizar sus utilidades (ingresos - costos). Formule un modelo matem´tico que
ıa
a
permita maximizar lasutilidades.
1.1.
Variables de Decisi´n
o
Se debe comenzar definiendo las variables de decisi´n relevantes. En un modelo de programaci´n
o
o
lineal las variables de decisi´n deben ser capaces de describir completamente las decisiones que puedan
o
ser tomadas y todas las variantes que existan.
Antes de definir las variables de decisi´n es importante definir las unidades involucradas en elproblema.
o
En este caso, se habla de unidades de sillas y mesas, de horas de trabajo por unidad y de demanda
semanal. De acuerdo a ello, una buena opci´n para definir las variables de decisi´n consiste en asociar
o
o
las variables al n´mero de unidades de sillas y mesas a producir por semana. Por lo tanto, podemos
u
definir:
x1 = n´mero de mesas producidas por semana.
u
(1.1)
x2 = n´merode sillas producidas por semana.
u
1
F.I.O. Segundo Semestre 2004
1.2.
Programaci´n Lineal
o
Funci´n Objetivo
o
En un problema de LP, se debe tomar la decisi´n de maximizar (usualmente las utilidades)
o
o de minimizar (usualmente los costos) cierta funci´n de las variables de decisi´n. La funci´n a
o
o
o
maximizar o minimizar se denomina funci´n objetivo. Antes deformular el modelo matem´tico
o
a
conviene resumir los datos del problema (Tabla 1.1).
Venta
Materiales
Mano de Obra
$
$
$
un.
27000
21000
–
Mesa
Silla
Disponibilidad
un.
10000
9000
–
un.
14000
10000
–
Carpinter´
ıa
hr.
un.
1
1
80
Terminaciones
hr.
un.
2
1
100
Dda. M´xima
a
un.
sem.
–
40
–
Tabla 1.1: Resumen Ejemplo 1
En elejemplo, los costos e ingresos no dependen del valor de x1 o de x2 , por lo tanto basta
concentrarse en maximizar la diferencia entre:
ingresos
semanales
costos de
materiales
−
−
costos por
mano de obra
(1.2)
Luego, se debe expresar los t´rminos anteriores en funci´n de las variables de decisi´n x 1 y x2 .
e
o
o
Supondremos que todas las sillas y mesas fabricadas son vendidas(respentando las condiciones
de mercado del enunciado). As´
ı:
ingresos
semanales
=
=
=
ingresos
por mesas
$
mesa
mesas
semana
27000x1
ingresos
por sillas
+
+
+
$
silla
sillas
semana
(1.3)
21000x2
Similarmente:
costos por
materiales
costos por
mano de obra
= 10000x1 +
9000x2
(1.4)
= 14000x1 + 10000x2
Por lo tanto la funci´n a...
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