Diagramas fecuenciales

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1.

Diagramas Frecuenciales

1.

Diagramas Frecuenciales _________________________________________ 1
1.1.1. Respuesta en Frecuencia ____________________________________________________________

___________________________________________ 2 1.2.1. Caso Particular: el retardo de transporte ____________________________________________________________

_______________________________ 101.2.2. Gráfico aproximado de los diagramas de Bode ____________________________________________________________

__________________________ 11

1.2. Presentación de la Respuesta en Frecuencia - Diagramas de Bode ___________________________________________________________ 8

04 a Diagramas Frecuenciales.doc 1

1.1.1. Respuesta en Frecuencia La respuesta en régimen permanente de un sistema aseñales sinusoidales en un rango de frecuencias es lo que se conoce como la respuesta en frecuencia del sistema. El interés de tratar entradas sinusoidales está en que la respuesta del sistema a estas señales contiene información sobre la respuesta a señales más generales. De hecho, toda señal periódica puede descomponerse en una serie de senos y cosenos, por el Teorema de Fourier. Conociendo larespuesta del sistema a las componentes sinusoidales de la señal de entrada, puede reconstruirse por Fourier la señal de salida.

x (t ) X (s)

G ( s)

y (t ) Y (s)

Si la planta es lineal y estable, la salida será una senoide de igual frecuencia y de diferente amplitud y fase. Esta diferencia solo depende de la función de transferencia. 04 a Diagramas Frecuenciales.doc 2

Sea laentrada: x ( t ) = X sen ω t

[1.1]

X (s) =

ωX s2 + ω 2

[1.2]

Función de transferencia racional

G (s) =
Salida

B (s) B (s) = A ( s ) ( s + s1 )( s + s2 ) B (s) X (s) A( s )

( s + sn )

[1.3]

Y (s) = G (s) X (s) =

[1.4]

Si el sistema es estable
Y (s) = B (s) ω X a a b = + + 1 + A ( s ) s 2 + ω 2 s + jω s − jω s + s1 + bn s + sn
[1.5]

Salida temporal

y ( t ) = ae− jω t + ae jω t + b1e − s1t +

+ bn e − snt

[1.6]

04 a Diagramas Frecuenciales.doc 3

todos los términos tenderán a cero, excepto los dos primeros es decir

y ( t ) = ae − jω t + ae jωt
¿qué es a?

[1.7]

XG ( − jω ) ωX ωX a = G (s) 2 s + jω ) = G (s) =− ( s + jω ) 2 ( 2j s +ω ( s + jω )( s − jω ) s =− jω s =− jω
XG ( jω ) ωX = a = G (s) 2 s − jω ) 2 ( s +ω 2j s = jω
[1.9][1.8]

la magnitud compleja G ( jω ) se puede escribir

G ( jω ) = G ( jω ) e jφ G ( − jω ) = G ( jω ) e − jφ
reemplazando

[1.10]

[1.11]

04 a Diagramas Frecuenciales.doc 4

 − G ( jω ) e − jφ e − jω t G ( jω ) e jφ e jωt  XG ( − jω ) − jω t XG ( jω ) jω t y (t ) = − e e =X + +  2j 2j 2j 2j     = X G ( jω ) e
j (ω t +φ )

−e 2j

− j (ω t +φ )

[1.12]

y ( t ) = X G (jω ) sen (ω t + φ ) = Y sen (ω t + φ )

[1.13]

es una senoide desfasada en donde, la relación de amplitudes de entrada y salida es el valor de la función de transferencia en esa frecuencia

G ( jω ) =

Y ( jω ) X ( jω ) Y ( jω ) X ( jω )

[1.14]

en forma compleja

G ( jω ) =

[1.15]

tendrá una amplitud y una fase

04 a Diagramas Frecuenciales.doc 5

Ejemplo 1.1. Sistemade Primer Orden

G (s) =

K K , G ( jω ) = Ts + 1 jT ω + 1

[1.16]

su amplitud es

G ( jω ) =
y su fase

K T ω +1
2 2

[1.17]

φ = G ( jω ) = − tan −1 T ω
la salida es

[1.18]

y (t ) =

XK T ω +1
2 2

sen (ω t − tan −1 T ω )

[1.19]

para frecuencias bajas, la ganancia es aproximadamente K y el desfasaje casi nulo para grandes frecuencias es casi una hipérbolaproporcional a 1
−90

ω y el desfasaje de

04 a Diagramas Frecuenciales.doc 6

-

¿Porqué la Respuesta en Frecuencia? La forma más común de inestabilidad es una salida senoidal. Da idea de lo que pasa con la planta en cada frecuencia Hay muchas herramientas matemáticas para analizar frecuencialmente un sistema Está limitado a sistemas lineales invariantes en el tiempo

04 a Diagramas...
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