Diccionario de algebra

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DICCIONARIO DE ALGEBRA
A
Adjunto de un elemento de un determinante
Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:
El signo es +    si  i+j  es par.
El signo es -    si  i+j  es impar.
El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:
Amplificación de fracciones algebraicas
Para amplificaruna fracción algebraica se multiplica El
Numerador y el denominador de la fracción por un polinomio.
B
Binomio
Un binomio es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3
Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer término más, o menos, el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(x+ 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x - 3)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 + 12 x + 9
Binomio al cubo
Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más, o menos, el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más, o menos, el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por diferencia.
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
4x2 − 25 = (2x)2 − 52 = (2x + 5) · (2x - 5)
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) ·(a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
C
Calculo las raíces del polinomio:
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6 =9 − 3 − 6 = 0
x = −2 y x = 3 son las raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − x − 6, porque P(−2) = 0 y P(3) = 0.
P(x) = (x + 2) · (x − 3)
Propiedades de las raíces y factores de un polinomio
Los ceros o raíces son divisores del término independiente del polinomio.
A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).
Podemos expresar un polinomio en factores alescribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.
x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)
La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es lo mismo, admite como factor x.
x2 + x = x · (x + 1)
Raíces: x = 0 y x =− 1
Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.
P(x) = x2 + x + 1
D
Determinantes
A cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante de A.
El determinante de A se denota por |A| o por det (A).
A = 
Determinante de orden uno
  |a 11| = a 11
  |5| = 5
Determinante de orden dos
= a 11 a 22 - a 12 a 21

Determinante deorden tres
Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:
=
= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 -
- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.
=
3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -
- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =
= 44 + 4 + 15 = 63
Obsérvese que hay seis productos, cada unode ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).
E
Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
x + 1 = 2         x = 1
Elementos de una ecuación
Miembros
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que...
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