Diego Gonzalez Resumen practico

Ecuaciones diferenciales
Resumen práctico














Diego González
2007
diesgomo@gmail.com

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden

1.1 Resolución
Resolución de la ecuación diferencial lineal de primer orden1:

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes2:

Definición de matriz wronskiana3:

Ecuaciones diferencialeslineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes4:
En estos casos la solución vendrá dada por la suma de la homogénea con la particular obtenida planteando y como una ecuación de la forma de R (x) y despejando los términos:
Ecuaciones separables de primer orden5:


1.2 Estudio analítico de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden y linealidad de las solucionesDefinición de ecuación exacta:
Es una de la forma
Existencia de la solución de la ecuación exacta:

Cálculo de V6:

Definición de ecuación lineal7:

Teorema de unicidad de la solución:

Espacio vectorial de soluciones de la homogénea:

1. Definición de matriz fundamental8:

Obtención de la matriz fundamental dado X0 condiciones iniciales:

Teorema de Liouville:

Definición de exponencial de una matriz:Cálculo de exponencial de una matriz:


1.3 Estudio gráfico y algebraico de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Diagramas de fases:
Son diagramas que se utilizan para bosquejar el campo de soluciones (órbitas) de un sistema de ecuaciones diferenciales.
Cambio de coordenadas a la base canónica de Jordan:

Soluciones9:
Bosquejo10:Se expresa la solución como donde son loscoeficientes de , vectores que conforman la base de Jordan de soluciones. Se despeja y grafica o y luego se deshace el cambio de coordenadas: para obtener el diagrama de fase en la base canónica11.Para conocer el sentido de las curvas se observa los valores propios, que se acercan o alejan del origen en cada dimensión según el signo del valor propio asociado12.Sistemas de ecuaciones linealesde primer orden no homogéneo:

Espacios estables, centrales e inestables:
Nombre
Notación y definición
Descripción
Estable

Es la suma de los espacios propios asociados a los valores propios cuya parte real es negativa
Central

Es la suma de los espacios propios asociados a los valores propios cuya parte real es nula
Inestable

Es la suma de los espacios propios asociados a los valores propios cuyaparte real es positiva
Definición de punto crítico estable e inestable13:
Definición de punto asintóticamente estable14:
Criterio de estabilidad en el origen:


2. Series de funciones

2.1 Sucesión de funciones: Definiciones
Definición de sucesión de funciones15:Es una función
Definición de convergencia puntual:

Definición de convergencia uniforme:

Definición de :

Definición de sucesión deCauchy para funciones:


2.2 Sucesión de funciones: Teoremas
Teorema de unicidad del límite:
Si converge a una función, ésta es única
Teorema de convergencia uniforme y puntual:

Criterio de la convergencia uniforme según la puntual y :

Teorema de Cauchy:
es de Cauchy es uniformemente convergente
Teorema de transmisión de continuidad en la convergencia uniforme16:Si
Teorema de relación entreintegrales de Riemann y continuidad uniforme17:
Teorema de convergencia uniforme y derivación:
Si
2.3 Series de funciones
Definición de serie de funciones18:
Condición de convergencia uniforme según:

Condición de convergencia de Cauchy:

Criterio de convergencia de Weiestrass19:Si

2.4 Series de potencias
Definición de serie de potencia:

Lema de Abel20:
Definición de radio de convergencia:Teorema de las convergencias:
1.
2.
3.
Teorema:

Teorema sobre el radio de convergencia:


Teorema de la convergencia uniforme:


2.5 Espacios métricos
Definición de un espacio métrico:
Es un espacio E donde hay definida una distancia d. Se nota (E, d)
Definición de un espacio métrico completo:
Es un espacio métrico donde toda sucesión de Cauchy es convergente.
Definición de espacio E = (F,...