Dielectricos

Problema : Se tiene la configuraci´n de la figura 1, donde el cilindro interior, de radio a es un conductor, rodeado de dos o c´scaras diel´ctricas de radios b y c y con permitividades 1 y 2 , yfinalmente por una c´scara conductora a e a de radio exterior d. El conductor interior tiene una carga Q1 y el exterior una carga Q2 . La longitud de los cilindros es L >> d. Se pide calcular: a) Lasdensidades, en volumen y superficie, de carga libre b) Las densidades, en volumen y superficie, de carga de polarizaci´n. o c) El campo el´ctrico en todo el espacio e d) El potencial electrost´tico en todo elespacio. a

Figura 1: Calculamos primero las densidades de carga libre. La carga libre se encuentra en los conductores (nada en el enunciado del problema nos indica la existencia de carga libre en losdiel´ctricos), de modo que solo e tendremos densidades superficiales de carga. En el conductor interior la carga total es Q1 , de manera que la densidad de carga libre en la superficie de radio a ser´a σa = Q1 2πaL

En la c´scara conductora el campo el´ctrico es nulo. Entonces, tomando, en la c´scara conductora, una a e a superficie de Gauss cil´ ındrica conc´ntrica con los cilindros de laconfiguraci´n se tendr´ e o a E.ds = o bien 0= Obteniendo luego σc = − Q1 2πcL Qenc
0

Qa + Qc
0

=⇒ Qc = −Qa = −Q1

1

En la c´scara conductora la carga es a Q2 = Qc + Qd De donde Qd = Q2 − Qc = Q2+ Q1 de forma que en la superficie exterior se tiene la densidad de carga σd = Q1 + Q2 2πdL

Ya est´n calculadas las densidades de carga libre. a Calculamos ahora el campo el´ctrico. En todos loscasos, al usar superficies de Gauss, estas ser´n cil´ e a ındricas, conc´ntricas con el resto de los cilindros, y de longitud L d: planteando el teorema de Gauss E.ds = Qenc
0

=⇒ E(ρ)2πL ρ =

σa2πaL + σb 2πbL + σc 2πcL
0

=

= de donde

Q1 L Q1 L (Q1 + Q2 )L − + L L 0 0 0L E(ρ) = Q1 + Q2 2 0 πLρ Q1 + Q2 2πLρ

y D(ρ) =

Finalmente, especificando el car´cter vectorial de los...