diferencia finita
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Publicado: 8 de octubre de 2014
Diferencia finita
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − ase obtiene una expresión similaral cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar deinfinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferenciasfinitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
Diferencias finitas centradas y laterales[editar]
Diferencias finitas.
Sólo se consideran normalmente tres formas: laanterior, la posterior y la central.
Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma
Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma ellímite h → 0.
Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma
Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por
Relación con lasderivadas[editar]
La derivada de la función f en un punto x está definida por el límite
Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha se convierte enPor lo tanto, la diferencia posterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f escontinuamente diferenciable, el error es:
La misma fórmula es válida en la diferencia anterior:
Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadradodel espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).
Cálculo de diferencias finitas[editar]
La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder lafunción f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula
Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder con su derivada , es decir,
Formalmente, invirtiendo la...
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − ase obtiene una expresión similaral cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar deinfinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferenciasfinitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
Diferencias finitas centradas y laterales[editar]
Diferencias finitas.
Sólo se consideran normalmente tres formas: laanterior, la posterior y la central.
Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma
Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma ellímite h → 0.
Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma
Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por
Relación con lasderivadas[editar]
La derivada de la función f en un punto x está definida por el límite
Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha se convierte enPor lo tanto, la diferencia posterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f escontinuamente diferenciable, el error es:
La misma fórmula es válida en la diferencia anterior:
Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadradodel espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).
Cálculo de diferencias finitas[editar]
La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder lafunción f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula
Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder con su derivada , es decir,
Formalmente, invirtiendo la...
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