Diferenciabilidad de una funcion

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DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIÓN
La definición de diferenciabilidad significara que el plano definido por la aproximación lineal. Una función con dominio en un subconjunto de los reales esdiferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto, lo que implica que una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.
Si una función esdiferenciable en un punto x, la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en x, puede no ser diferenciable en dicho punto. En otras palabras, diferenciabilidad implicacontinuidad, pero no su recíproco.
Comprobación:
Sea una función f dada por z=f(x,y) es diferenciable en (x0,y0) si ∆z puede expresarse como:
∆z=fxx0,y0∆x+fyx0,y0∆y+ℇ1∆x+ℇ2∆y
Donde ℇ1 y ℇ2→0 ycuando (∆x,∆y)→(0,0).
La función f se dice que es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R.
Condiciones suficientes para la diferenciabilidad
Si f es una función de x yy, con fx y fy continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R.
Definición Formal
Decimos que una función z=f(x,y) es diferenciable en el punto P0(x0,y0) si existen dosnúmeros y tales que:
lim(x,y)→(x0,y0)fx,y-(fx0,y0+Ax-x0+By-y0))(x-x0)2+(y-y0)2=0
En este caso diremos que el plano z=fx0,y0+Ax-x0+B(x-x0) es el plano tangente a la gráfica de f en (x0,y0) y ademásdebe cumplirse el teorema:
Para que una funciona f sea diferenciable en (x0,y0) es necesario que existan derivadas parciales de la función en ese punto. Y en ese caso el plano tangente es el plano.z=fx0,y0+∂f∂x(x0,y0)∙x-x0+∂f∂yx0,y0∙(y-y0)

Así podemos usar las definiciones para demostrar que una función es diferenciable en un punto cualquiera.
Para esto debemos:
1. Debemos empezarpor calcular las derivadas parciales en ese punto (ya sea mediante las reglas de derivación, o usando la definición si no es posible aplicar las reglas).
2. Después debemos demostrar que se cumple...
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