Diferencial total

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LA DIFERENCIAL TOTAL

En temas anteriores, relacionados a funciones de dos variables: [pic] se ha visto la siguiente aceptación para sus correspondientes derivadas parciales:

[pic]

[pic]En ambos casos, solamente una de las dos variables independientes sufre un cambio unitario, mientras que la otra no varía. Esa situación lleva a la pregunta: ¿Cómo se podría calcular un cambioaproximado en z cuando ambas variables independientes , x & y, sufren un cambio, de diferente magnitud, simultáneamente?

Para la función: [pic] . Si Δx & Δy representan un cambio pequeño,no necesariamente unitario, en x & y, respectivamente, el cambio correspondiente en z es:

LA DIFERENCIAL TOTAL [pic]

Observe que la expresión usada paraaproximar Δz es la suma de dos términos, cada uno de ellos es, en esencia, una diferencial de una variable en particular:

[pic]

[pic]

La fórmula de la diferencial total indica que elcambio total en z (Δz) es aproximadamente igual a la suma de estos dos cambios parciales.

El empleo de la diferencial total para aproximar el cambio en una función se ilustra en el ejemplo siguiente:EJEMPLO:

En cierta fábrica, la producción diaria es [pic] unidades, donde K representa la inversión de capital medida en unidades de miles de dólares y L representa el tamaño de la fuerzalaboral medida en horas-trabajador. Actualmente, la inversión de capital es de $ 900,000 y se emplean 1,000 horas-trabajador cada día. Calcular el cambio generado en la producción si la inversiónde capital aumenta en $ 1,000 y la mano de obra en 2 horas-trabajador.

SOLUCIÓN:

Aplicar la fórmula de diferencial total con K=900, L=1,000, ΔK=1 y ΔL=2

[pic]

[pic]

[pic][pic]unidades

HOJA DE EJERCICIOS

1. La producción de cierta planta es Q(x,y)=0.08x2 + 0.12xy +0.03y2 unidades por día, donde x es el número de horas de mano de obra calificada que se utiliza e y...
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