Diferenciales de primer orden

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Diferenciales de primer orden separables
Ecuaciones diferenciales separables
Una ecuación diferencial ordinaria separable es una ecuación diferencial que puede escribirse de la forma
| | |

o más brevemente, considerando a como la función de dada por , una ecuación diferencial que puede escribirse como
| | (1.5)  |

Podemos escribir la ecuación (1.5) como
| | (1.6)  |

Puestoque es una función de , tenemos que . Por lo tanto, podemos integrar (1.6) para obtener
| | |

lo que da lugar a una ecuación que define de manera explícita o implícita la solución de la ecuación diferencial.
En el proceso de solución de una ecuación diferencial separable, puede ser conveniente escribir la ecuación diferencial en forma de diferenciales. Por ejemplo, la ecuacióndiferencial
| | |

se escribe en forma de diferenciales como
| | |

El único propósito de esta notación es aclarar que, para obtener la solución de la ecuación diferencial, el lado izquierdo de la ecuación ha de integrarse con respecto a , mientras que el lado derecho de la ecuación ha de integrarse con respecto a ..
Ecuaciones diferenciales de primer orden/Ecuaciones diferenciales exactasEcuaciones diferenciales ordinarias/Ecuaciones diferenciales de primer orden/Ecuaciones diferenciales exactas
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Recordemos que si , entonces el diferencial total de se define como
| | |

donde y son números cualesquiera llamados incremento en e incremento en respectivamente.
Ejemplo 1.6
Si , entonces
| | |

Vemos pues que si , entonces el diferencialtotal de está definido por una expresión de la forma
| | (1.15)  |

Si bien el diferencial total de siempre viene definido por una expresión de la forma (1.15), el recíproco no es necesariamente cierto, es decir, una expresión diferencial de la forma (1.15) puede no ser el diferencial total de una función de e .
lineales
Ecuacion Diferencial Lineal de Primer Orden Una ecuacion diferencial deprimer orden, se dice que es lineal en y, si tiene la forma, o
mediante algebra puede llevarse a la forma siguiente:

y0 + f(x)y = r(x) (1)
Observe que la caracter´ıstica de este tipo de ecuaciones es el hecho de que la variable y ası como yo estan elevadas a la potencia 1, adem´as de que el coeficient de y es una funci´on dela variable x.

Este tipo de ecuaciones diferenciales recibeademas el nombre de ecuacion diferencial lineal homogenea cuando el termino r(x) es cero, y si r(x) es diferente de cero, recibe el nombrede lineal no-homogenea.
Son muchas las ´areas de ingenieria donde aparecen con frecuencia este tipo de ecuaciones diferenciales, tal es el caso en circuitos electricos con inductacias y resistencias, con capacitores y resistencias, aplicaciones de la segunda ley deNewton tales como sistema masaresorte, caida libre con friccion proporcional a la velocidad, entre otros

Solucion de la Ecuacion Diferencial Lineal.
Para encontrar la soluci´on de ecuaciones difereciales lineales, vamos a arreglar la ecuacion
(1). En un principio, vamos a escribirla de la forma siguiente

(f(x)y − r(x)) dx + dy = 0 (2)

Observe que en (2) se presenta en la forma generalde una ecuacion diferencial exacta, pero,
¿Sera en realidad exacta? o ¿Sera necesario algun factor de integracion?
Para resolver lo anterior, vamos a varificar la condicion de exactitud y en caso de no serlo,
Homogéneas
Ecuaciones diferenciales homogéneas
En la práctica, es muy difícil que nos encontremos con ecuaciones diferenciales separables. Sin embargo, hay ocasiones en las que algún tipode sustitución transforma la ecuación diferencial no separable en una ecuación que sí es separable. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales homogéneas. Una ecuación diferencial se llama homogénea si puede escribirse de la forma
| | (1.9)  |

Vemos entonces que en este tipo de ecuaciones, queda aislada en un lado de la ecuación, mientras que en el otro lado...
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