Diferenciales e integrales

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y=〖5x〗^3+8=〖15x〗^2
y=〖10w〗^3+〖3w〗^2=〖30w〗^2+6w
y=1/x^5 =x^(-5)=〖-5x〗^(-6)=5/x^6
y=3a/√(6&x^5 )=3a/x^(5⁄6) =3a x^((-5)⁄6)=(-5/6)(3a) (x)^(-5⁄6-6⁄6)=15a/6 x^(-11⁄6)=15a/(6〖 x〗^(11⁄6) )=15a/(6 √(6&x^11 ))
y=[√(6&(〖2x〗^9+8)^7 )]∙(〖15x〗^7+4)^3=(〖2x〗^9+8)^(7⁄6)∙(〖15x〗^7+4)^3
y´=(〖2x〗^9+8)^(7⁄6)∙〖3(〖15x〗^7+4)〗^2 〖∙〖105x〗^6+(〖15x〗^7+4)〗^3∙7/6 (〖2x〗^9+8)^(7⁄6-6⁄6)∙〖18x〗^8
y´=〖〖〖315x〗^6(〖2x〗^9+8)〗^(7⁄6) (〖15x〗^7+4)〗^2+〖126x〗^8/6 (〖2x〗^9+8)^(1⁄6) (〖15x〗^7+4)^3
y´=〖〖315x〗^6 √(6&(〖2x〗^9+8)^7 )∙(〖15x〗^7+4)〗^2+〖126x〗^8/6 √(6&〖2x〗^9+8)∙(〖15x〗^7+4)^3
Proponer y resolver derivadas como las que se hicieron en clase
y=〖15x〗^5+〖16x〗^4+〖17x〗^3+〖18x〗^2+19x+20
y´=〖75x〗^4+〖64x〗^3+〖51x〗^2+36x+19
y=〖9x〗^5+〖10x〗^4+〖11x〗^3+〖12x〗^2+13x+14
y´=〖45x〗^4+〖40x〗^3+〖33x〗^2+24x+13
y=∛((1-x^2 ) )
y´=1/3 (1-x^2)^(-2⁄3) (-2x)=(-2x)/(3(1-x^2 )^(2⁄3) )=(-2x)/(3∛((1-x^2 )^2 ))
y=√(5+〖9x〗^2 )
y´=1/2 (5+〖9x〗^2 )^(-1⁄2) (18x)=18x/(2(5+〖9x〗^2 )^(1⁄2) )=9x/√((5+〖9x〗^2 ) )
y=√(12+〖6x〗^2+〖8x〗^3 )
y´=1/2 (12+〖6x〗^2+〖8x〗^3 )^(-1⁄2) (12x+〖24x〗^2 )=(12x+〖24x〗^2)/(2(12+〖6x〗^2+〖8x〗^3 )^(1⁄2) )=(6x+〖12x〗^2)/√((12+〖6x〗^2+〖8x〗^3 ) )
y=√(18-〖20x〗^2 )
y´=1/2 (18-〖20x〗^2 )^(-1⁄2) (-40x)=(-40x)/(2(18-〖20x〗^2 )^(1⁄2))=(-20x)/√((18-〖20x〗^2 ) )
y=√(18-〖10x〗^2 )
y´=1/2 (18-〖10x〗^2 )^(-1⁄2) (-20x)=(-20x)/(2(18-〖10x〗^2 )^(1⁄2) )=(-10x)/√((18-〖10x〗^2 ) )
y=√(20+〖5x〗^2+〖4x〗^3 )
y´=1/2 (20+〖5x〗^2+〖4x〗^3 )^(-1⁄2) (10x+〖12x〗^2 )=(10x+〖12x〗^2)/(2(20+〖5x〗^2+〖4x〗^3 )^(1⁄2) )=(5x+〖6x〗^2)/√((20+〖5x〗^2+〖4x〗^3 ) )
y=〖3e〗^(〖5x〗^2 )
〖y´=3e〗^(〖5x〗^2 ) (10x)=〖30xe〗^(〖5x〗^2 )

y=5/3 (x-〖5x〗^2 )^4
y=5/3 (4)(x-〖5x〗^2 )^3 d/dx (x-〖5x〗^2)=20/3 (x-〖5x〗^2 )^3 (1-10x)=(20/3-200/3 x)(x-〖5x〗^2 )^3
La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente.
Formas de expresar la derivada:
Df(x)
dy primera
dx derivada

dy=y´ ∙∆x
Diferencial
dy=y´∙dx

y=〖5x〗^3+18
y´=〖15x〗^2
dy=〖15x〗^2∙ ∆xy=[√(9&(〖19x〗^2+8)^5 )]∙[(〖12x〗^8-19)^3 ]
y´=(〖19x〗^2+8)^(5⁄9)∙3(〖12x〗^8-19)^2∙〖96x〗^7+(〖12x〗^8-19)^3∙5/9 (〖19x〗^2+8)^((-4)⁄9)∙38x
y´=〖〖〖288x〗^7 (〖19x〗^2+8)〗^(5⁄9) (〖12x〗^8-19)〗^2+(190x(〖12x〗^8-19)^3)/(9√(9&(〖19x〗^2+8)^5 ))
dy=(190x(〖12x〗^8-19)^3)/(9√(9&(〖19x〗^2+8)^5 ))∙∆x

y=(〖25x〗^3-16)^3/√(5&〖29x〗^6+8)
y´=((〖29x〗^6+8)^(1⁄5)∙3(〖25x〗^3-16)^2∙(〖75x〗^2 )-(〖25x〗^3-16)^3∙1/5(〖29x〗^6+8)^((-4)⁄5)∙(〖174x〗^5 ))/(√(5&〖29x〗^6+8))^2
y´=(〖〖〖225x〗^2 (〖29x〗^6+8)〗^(1⁄5) (〖25x〗^3-16)〗^2-〖〖174x〗^5 (〖25x〗^3-16)〗^3/(5√(5&〖29x〗^6+8)))/〖√(5&(〖29x〗^6+8) )〗^2

Calcular la diferencial de la función y=〖5x〗^2 para x=4 y el ∆x=0.2
y=〖5x〗^2
y´=10x
dx=10(4)∙∆x
dy=40∙0.2=8
Problemas que se resuelven en forma aproximada calculando el incremento de una función.

Calcula el incremento aproximado del área de uncuadrado de lado 5m si este tiene un aumento de 0.002m.
A=l^2
dA/dl=2l
dA=2l∙dl
dA=2(5m)∙(0.002m)
dA=〖0.02m〗^2

Obtener el valor aproximado del volumen de un cubo de lado 2m al aumentar el lado 0.003m.
A=l^3
dA/dl=〖3l〗^2
dA=〖3l〗^2∙dl
dA=3(2m)^2∙(0.003m)
dA=〖0.36m〗^3

Si √36=6 calcula el valor aproximado da la √38 utilizando el concepto de diferenciales.
y=√x
y´= 1/(2√x)
dy=1/(2√x)∙∆x
dy= 1/(2√36)∙(2)
dy= 1/2(6) ∙(2)
dy= 1/12∙(2)
dy=0.16 √38=6+dy
√38=6+0.16
√38=6.16

Integrales indefinidas
En el cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la derivada f´(x) de una función cualquiera f(x). A hora nos ocuparemos del problema inverso, es decir dada la derivada buscaremos obtener la función f(x) (primitiva o función original).
La integración es una operacióninversa a la derivación.
Ejemplo:

f´(x) Derivada 〖3x〗^3+2 ∫▒〖9x〗^2 ∙dx
f(x) primitiva

〖3x〗^3+16 ∫▒〖〖9x〗^2∙dx〗
En los ejemplos anteriores nos damos cuenta que las expresiones de la izquierda solo difieren de una constante sin embargo, su diferencial es la misma ∫▒〖〖9x〗^2∙dx〗 ahora bien al integrar las expresiones de...
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