Diferenciales

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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL dy

La siguiente figura corresponde a la función diferenciable [pic]

Seleccionamos un punto arbitrario [pic]en la curva y trazamos una rectatangente a la curva en ese punto, asignamos la letra θ al ángulo que se forma por la tangente y la dirección positiva del eje x.

← Si la variable independiente x sufre un incremento [pic],entonces la función experimentará un incremento [pic].

← De acuerdo con la figura, las coordenadas del punto Q son [pic]

← Por otro lado, en el triángulo PRT encontramos que

[pic]
ydespejando tenemos que

[pic]

← Recordemos que geométricamente la derivada de una función se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función, esto nos permiteestablecer que [pic]

← Observemos en la figura que [pic],

← Entonces realizando las sustituciones correspondientes tenemos que [pic]
← Recordemos que en el tema anterior definimos ladiferencial [pic]

← Podemos concluir que la diferencial de la función es igual a la longitud del segmento de recta [pic], es decir:
[pic]

← La igualdad anterior significa que ladiferencial de la función [pic], correspondiente a los valores dados de x y de [pic], es igual al incremento de la ordenada de la tangente a la curva [pic] en el punto dado x.

← En la figura tambiénpodemos observar que [pic]. Esto significa que la diferencial [pic] no es lo mismo que el incremento de la función; esto es [pic]. Sin embargo, si [pic], entonces [pic].

← Si [pic]se aproximaa cero, tenemos que el valor del incremento de la función es aproximadamente igual al valor de la diferencial [pic].

← Esto en ocasiones nos permite utilizar en los cálculos aproximados laigualdad [pic]porque generalmente es más sencillo calcular [pic] que [pic]

[pic]
-----------------------
[pic]

[pic]

Q

R

T

P

[pic]

[pic]

[pic]

O

[pic]...
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