Diferencias finitas

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1. El Método de Diferencias Finitas
Por Guillermo Hernández García El Método consiste en una aproximación de derivadas parciales por expresiones algebraicas envolviendo los valores de la variable dependiente en un limitado número de puntos seleccionados. Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuacionesalgebraicas, escritas en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados. Las ecuaciones son lineales si las ecuaciones diferenciales parciales son también lineales. El valor de los puntos seleccionados se convierten en las incógnitas, en vez de la distribución espacial continua de la variable dependiente. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puedeenvolver un número largo de operaciones aritméticas. Antiguamente todos estos cálculos eran realizados manualmente, o por el uso de dispositivos mecánicos. En la actualidad, con el advenimiento de las computadoras electrónicas las operaciones son ejecutadas por medio de un programa de cómputo. 1.1. Flujo Estable Para mostrar este método vamos a considerar el caso de flujo bi-dimensional de un fluidoen un acuífero homogéneo, isotrópico confinado, sin fuentes o sumideros. Para este caso, el flujo es descrito por la ecuación de Laplace: ∂ 2h ∂ 2h + = 0. (1.1.1) ∂ x2 ∂ y 2 Esta ecuación debe ser satisfecha en todos los puntos dentro del dominio R del acuífero considerado. En la frontera de R el nivel del agua, h, debe satisfacer ciertas condiciones de frontera. Vamos a asumir que las condicionesde frontera son: en S1: h = f , (1.1.2)
en S2 : Qn = − T

∂h =0 ∂n

(1.1.3)

donde S1 y S2 son partes complementarias de la frontera, las cuales juntas forman la frontera total de la región R. En la primera la altura del nivel es prescrito y en la segunda la frontera es impermeable. Una retícula de cuadrados es trazada sobre la región R (figura 1.1). El valor de la variable h en un puntonodal de la retícula, o nodo, es expresada como hi,j, donde i indica la posición de una linea vertical de la retícula (la columna), y j la línea horizontal de la retícula ( el renglón). En general, la aproximación de la primera derivada con respecto a x de una función F(x,y), es dada por: ∂ F F ( x + ∆x, y ) − F ( x, y ) ≈ (1.1.4) ∂x ∆x

esta se dice que es la aproximación de diferencia finitahacia adelante de la derivada parcial. La diferencia finita hacia atrás es obtenida de la forma siguiente: ∂ F F ( x, y ) − F ( x − ∆x, y ) ≈ (1.1.5) ∂x ∆x Existen pequeñas diferencias entre las dos aproximaciones. La diferencia finita central es a menudo más exacta: ∂ F F (x + 1 ∆x, y ) − F (x − 1 ∆x, y ) 2 2 (1.2.6) ≈ ∂x ∆x La segunda derivada es la derivada de la primera derivada; y siutilizamos una aproximación de diferencia finita central, obtendremos: ∂ 2 F F ( x + ∆x, y ) − 2 F ( x, y ) + F ( x − ∆x, y ) ≈ 2 ∂ x2 ( ∆x ) (1.1.7) Fi +1, j − 2 Fi , j + Fi −1, j = 2 ( ∆x ) La fórmula se ilustra en la figura 1.2, donde la función mostrada tiene segunda derivada positiva, por el incremento de la pendiente en la dirección x. La aplicación de (1.1.7) a las derivadas parciales el (1.1.1) nosda la aproximación del operador de Laplace. Si por razones de simplicidad se asumen intervalos iguales en las direcciones de x e y: ∂ 2 h ∂ 2 h hi , j −1 + hi , j +1 + hi −1, j + hi +1, j − 4hi , j (1.1.8) + ≈ ∂x 2 ∂y 2 ∆2 como la parte izquierda de la ecuación se reduce a cero según lo indica la ecuación diferencial básica (1.1.1), se puede hacer la aproximación requiriendo que: hi , j = 1 (hi ,j −1 + hi , j +1 + hi −1, j + hi +1, j ) (1.1.9) 4 Los nodos en la frontera requieren atención especial para acomodar las condiciones de frontera. Una posible condición de frontera es la condición de Dirichlet (1.1.2), la cual establece que el nivel del agua subterránea sea el especificado a lo largo de parte de la frontera. En este caso ésta se prescribe a priori y ya no es una incógnita. En...
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