Diferentes aplicaciones de las integrales

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METODO DE LOS DISCOS



b

a

π ( f ( x )) 2 dx
2

EJEMPLO : La región entre la curva Y = X , 0 ≤ X ≤ 25 y el eje x se gira alrededor para generar un sólido. Hallar su volumen.

V = ∫ π ( x ) dx
O

25

V = ∫ πxdx
0

25

 x2  V = π  2  

25 0

625π = 2

METODO DE LAS ARANDELAS
V =



b a

π (( f ( x ))

2

− ( g ( x ))

2

) dx

EJEMPLO :Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por alrededor del eje y

Radio exterior va a estar dado por la curva ( que es la mayor en ordenada ) Radio interior por la curva ( que es la mayor en ordenada ) (unidades cúbicas)

Sea f una función cuyo dominio esta en el intervalo cerrado [a,b], +∫ ∫ f ( x)dx = −≥ f ( x)dxtal que f(t) sea mayor o igual a 0 ∫ para x queexiste en el intervalo [a,b] . Sea R la región plana limitada por las graficas de las ecuaciones y=f(t) , y=o (eje x) t=a y t=x
b c a a



b

a

f ( x ) dx = − ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx
a c

c

b

Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda. FUNCIÓN DE OFERTA: una empresa que fabricay vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad.

FUNCION CRECIENTE

A esta función la simbolizamos p = o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.

FUNCIÓN DE DEMANDA:La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda.

FUNCIÓN DECRECIENTE

A esta función la simbolizamos p = d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado.

Se conoce que la curvade la oferta para un producto es s(x) = x
2

+

7

Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos. Si la producción asciende a 10 artículos el precio es s(10) = 10 +
2

7 = 12 pesos

La ganancia o superávit de los productores se calculo resolviendo:  x
5x 5 x −  4 
2



10

0

x [12 − ( + 7 )] dx = 2



10

o

x [12 − − 7] dx = 2



10

0

x [ 5 − ] dx 2

Ganancia de las productores =

 x 2  5 x −  4  



10 0

= 25

La ganancia de los productores asciende a $25 si la producción es de diez artículos.

SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio deequilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávitde los consumidores. EL superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p = d(q) y p = p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma: donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p0 y demanda de equilibrio q0

EL superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p = d(q) y p = p0 entonces su valor puedeencontrarse con una integral definida de esta forma:



q o

0

[d (q ) − p

0

] dq

donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p0 y demanda de equilibrio q0

Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas. • Función de demanda: p1 (q) = 1000 - 0,4 q2. • Función de oferta: p2 (q) = 42q El exceso de oferta y el de demanda...
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