Dinamica en el espacio

Teorema de los ejes paralelos o Teorema de Steiner:
y
x
G
dm
Y
X
d
Y´
Y
Y´
El momento de inercia de la masa de un cuerpo plano, respecto a un eje paralelo al centroidal, es igual al momento de inercia centroidal de la masa del cuerpo considerado, más el producto de dicha masa, por el cuadrado de la distancia que separa a los ejes.

Los ejes centroidales paralelos Y – Y y Y´ - Y´ seencuentran separados d unidades. Al tomar momentos con respecto al eje Y´- Y´ se tiene que:

Vale decir que la razón es que, este es la suma de los momentos respecto a “G”, luego:

es el momento de inercia respecto a un eje paralelo al Centroidal.

Cantidad de movimiento lineal:
La segunda ley del movimiento relaciona el cambio en el movimiento de un cuerpo con la interacción entre éste yotros cuerpos. Esta interacción se mide por una cantidad física denominada fuerza.
C1
C2
m2
m1

Supóngase que dos cuerpos interactúan, de la experiencia sobre el movimiento de los cuerpos, debido a su interacción recibirán aceleraciones directamente opuestas.

Recuérdese que las aceleraciones son de sentidos opuestos, lo que permite escribir:

La cantidad es la medida cuantitativa de lainteracción y se designa como que el cuerpo C2 ejerce sobre el cuerpo C1, luego, de acuerdo con esto, el concepto de fuerza queda definido por la ecuación:

Esta es, en esencia, la segunda ley de Newton del movimiento, que se expresa diciendo “la razón al tiempo del cambio o variación de la cantidad de movimiento de un cuerpo es proporcional a él y se presenta en la dirección y sentido dedicha fuerza”.
La cantidad de movimiento (momentum en ingles) , de un cuerpo se define como el producto de su masa por su velocidad.

o bien, de acuerdo con la segunda ley de Newton:

que es la expresión correcta de la segunda ley del movimiento.
Ahora bien, el movimiento de partículas, puede ser en cualquier dirección y bajo un sistema de fuerzas cualesquiera, por lo tanto, considerando estésistema de partículas como un cuerpo rígido, es posible establecer, con respecto a un sistema de coordenadas (x, y, z) de acuerdo con los momentos de primer orden, las ecuaciones:

o bien

donde : cantidad de movimiento lineal o momentum del cuerpo rígido considerado.
Cantidad de movimiento angular:
La cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido es una cantidad física muy importante.Tiene su “origen” análogo al de la cantidad de movimiento lineal, además de considerar la segunda ley de Newton para sistemas en rotación.
Es importante señalar que, en el análisis del movimiento angular del cuerpo en estudio, es necesario determinar si la rotación es de tipo Centroidal o no, en cuyo caso la expresión se reduce a:

en esté caso se esta considerando que el punto “O” es el centroinstantáneo de rotación y coincide con el centro “G”.
A se le conoce como “cantidad de movimiento angular”.
Vale comentar que la rotación puede cambiar de un texto a otro, sin embargo, eso no debe de ser problema.
Principio de impulso y cantidad de movimiento lineal de un cuerpo rígido:
Del teorema de D´Alembert:

luego, obsérvese con cuidado:

integrando entre los límites de t1 a t2 yrespectivamente:

se tiene que:

Principio del impulso angular y de la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido:
Se sabe que:

También es claro que:

integrando de manera análoga al caso anterior

Si el centro de masas “G” coincide con el centro de rotación “O”, la ecuación anterior se transforma en:

Movimiento en el espacio de cuerpos rígidos:
En esta sección se hace unestudio (sucinto) del movimiento general de un cuerpo rígido en el espacio. Este movimiento esta compuesto de una traslación de un punto fijo del cuerpo (generalmente el centro de masas), más la rotación alrededor de un eje fijo; a través de el punto fijo, el cual no necesariamente restringe en la dirección. Esté último sirve para decir que, los grados de libertad, según se ha comentado, son el...