DINAMICA ESTRUCTURAL

Capítulo 2

Elementos de Dinámica Estructural
2.1

Introducción

Ante acciones de tipo dinámico una estructura responde modi…cando su con…guración alrededor
de una posición de equilibrio estable. Estos cambios de con…guración pueden alcanzar grandes
amplitudes incluso para valores pequeños de la acción excitadora, pudiendo conducir al colapso
de la estructura.
En este capítulo serevisan algunos de los conceptos básicos del análisis dinámico de estructuras que son de aplicación en las normativas sismorresistentes. Así, en la sección 2 se realiza
un breve repaso de los sistemas lineales de un grado de libertad. Se estudian los casos de las
vibraciones tanto libres como forzadas y el caso de vibraciones producidas por una excitación
de base. A continuación, en la sección 3, seintroduce uno de los conceptos clave del cálculo
sísmico: la de…nición de la acción por medio de espectros sísmicos de respuesta. La sección 4
se dedica al estudio de sistemas elásticos lineales con varios grados de libertad. Se plantean las
ecuaciones del movimiento y se presentan las propiedades de los modos y frecuencias propias
de la estructura. La respuesta máxima del sistema ante unasolicitación sísmica se obtiene utilizando el análisis modal espectral, i.e., expresando dicha respuesta mediante superposición de
modos, obteniendo la respuesta máxima asociada a cada uno de estos modos en base a la acción
sísmica de…nida por su espectro de respuesta, y combinando las respuestas máximas modales
así calculadas. Finalmente, se hace un breve apunte de los métodos de integracióndirecta de
las ecuaciones del movimiento.

c
°A. Sáez. Estructuras III. E.T.S. Arquitectura de Sevilla.

CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL

2.2
2.2.1

10

Sistemas de un grado de libertad
Vibraciones libres

Vibraciones libres de sistemas no amortiguados
Se estudia la vibración del sistema que se esquematiza en la …gura 2.1, formado por una masa
y un muelle decomportamiento elástico y lineal.

x(t)
kx

k

m

m
mx

Figura 2.1: Sistema de un g.d.l.. Equilibrio de fuerzas
Si se desplaza la masa desde su posición de equilibrio y a continuación se deja vibrar libremente, la masa oscilará alrededor de dicha posición. Aislando la masa y planteando el equilibrio
de fuerzas, se obtiene
mÄ + kx = 0
x
(2.1)
La solución a la ecuación (2.1) es de la formas

x(t) = A1 cos ! n t + A2 sen ! n t

;

!n =

k
m

(2.2)

donde !n es la frecuencia natural o frecuencia propia del sistema (dada en radianes por segundo)
y es la frecuencia a que tiende a vibrar el sistema de acuerdo con sus características. A1 y A2
son dos constantes arbitrarias que se calculan a partir de las condiciones iniciales.

Amortiguamiento
El amortiguamiento es elproceso causante de que un movimiento vibratorio disminuya su amplitud con el tiempo. Su origen puede ser diverso: por rozamiento de dos super…cies, como
consecuencia de la fricción interna o histéresis del propio material, etc.
Para aproximar las distintas formas de amortiguamiento es habitual en dinámica estructural
emplear un amortiguamiento viscoso. En este caso la fuerza amortiguadora esproporcional a la
velocidad
_
(2.3)
Fa = cx
donde la constante c de amortiguamiento equivalente es tal que origina la misma disipación de
energía que la producida por el amortiguamiento real de la estructura.

c
°A. Sáez. Estructuras III. E.T.S. Arquitectura de Sevilla.

CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL

11

Vibraciones libres de sistemas amortiguados
La …gura 2.2esquematiza un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso. La
ecuación del movimiento viene de…nida en este caso por
mÄ + cx + kx = 0
x
_

(2.4)

La solución a esta ecuación tiene la forma
c
¡ 2m t

x(t) = e

n

A1 er1 t + A2 er2 t

o

s

;

r1 =

k
c2
¡
= ¡r2
2
4m
m

(2.5)

donde A1 y A2 se calculan de nuevo a partir de las condiciones iniciales....