Dinamica Mecanica

11/3/2010

7. Flexión
7.1 Viga con un plano de simetría sometida a
flexión pura.
7.2 Viga con un plano de simetría sometida a
flexión y corte.
7.3 Viga asimétrica.
7.4 Viga de sección abierta de pared delgada.
7.5 Flexión no-lineal.

ICE 1302 2-2010

M. Hube

1

7.1 Viga con un Plano de Simetría Sometida a Flexión Pura
Flexión pura

P

y

x

L

y

P
L

P

V =0z

L
P

Sección
transversal

M

M = cte

PL

V

P
−P

Zona de flexión pura

Sección simétrica respecto al plano vertical
y

Plano de simetría

z
ICE 1302 2-2010

M. Hube

M. Hube

2

1

11/3/2010

Curvatura : Razón de cambio del ángulo de la curva respecto a la longitud
de la curva

O
O’

∆φ dφ
=
∆s →0 ∆s
ds

κ = lim
∆φ
Curva

∆s

BUnidades (1/Longitud)

∆φ

C

dφ 1
=
ds ρ

φ

ρ

: Radio de curvatura

Radio de curvatura en el punto B

OB = ρ

ICE 1302 2-2010

κ : Curvatura

M. Hube

3

Por simetría
A

B

C

D

E

F

M

A

M

B

D

E

M

B

M

Rebanada
izquierda

O

C

E

F

Rebanada
derecha

Contradicción en
curvatura de BE
∆φ

∆φ
A’ B’ C’

D’

E’Momento
constante

Radio de curvatura
constante

F’

Hipótesis de Navier

Secciones planas permanecen planas

Las secciones planas se intersecan en el punto O
Una sección plana se puede deformar en su propio plano
ICE 1302 2-2010

M. Hube

M. Hube

4

2

11/3/2010

Compatibilidad Geométrica
Por conveniencia el eje y se coloca desde el eje neutro
y

Eje neutroz

O

ρ
(por simetría)

γ xy = γ xz = 0

εx =

I ´J ´− IJ
IJ

εx = −

y

εx = −

ρ

∆φ

Zona de
compresión
Zona de
tracción

dφ
y
ds

J’

I’

N’

M’

Eje neutro
Arco de círculo

ε y = ε z = γ yz = ?

(pero son simétricas respecto al plano de simetría)

ICE 1302 2-2010

M. Hube

5

RelaciónTensión-Deformación

y

Material lineal elásticoz

Material isotrópico

τ yz
σz

Suponemos

σy

σ y = σ z = τ yz ≈ 0

Entonces:
γ xy =

εx =

τ xy
G

=0

σx

ε z = −ν

σx
E

σx
E

ICE 1302 2-2010

M. Hube

τ xz
G

=0

γ yz =

σ x = −E

E

ε y = −ν

γ xz =

τ yz
G

=0

dφ
y
ds

ε y =ν

dφ
y
ds

ε z =ν

Arco de
círculo

ρ
>ρ
ν

dφ
y
ds

M. Hube

6

3

11/3/2010Equivalencia de Fuerzas
Momento
resultante

y

Deformaciones

Tensiones

x

M

εx

N = ∫ σ x dA = 0

∫ ydA = 0

A

σx

Eje neutro coincide con el centroide

A

M = − ∫ yσ x dA
A

I z = ∫ y 2 dA Momento de Inercia
A
(unidades de L4)

Definimos

dφ M
=
dz EI z

ICE 1302 2-2010

σx = −

My
Iz

εx = −

My
EI z

M. Hube

7

Ejemplo 7.1Calcular el momento de inercia de un rectángulo y un círculo:
Re

y
z

h

b

Solución:
Iz =

ICE 1302 2-2010

M. Hube

bh3
12

Iz =

M. Hube

πR 4
4

8

4

11/3/2010

Ejemplo 7.2
Demostrar el Teorema de los Ejes Paralelos (Teorema de Steiner)

y
z

I z1 = I z + A d 2

CC

CC: Centroide

d

y1
z1

ICE 1302 2-2010

M. Hube

9

Ejemplo 7.3
En unasección de la viga del tramo central, calcular la distribución de tensiones y
la tensión máxima de tracción y compresión.
8 cm
100 kgf

0.5 cm

100 kgf

10 cm
1m

2m

1m
0.4 cm

325 kgf/cm2 (tracción)

Solución:
100 kgf-m

-861 kgf/cm2 (compresión)

ICE 1302 2-2010

M. Hube

M. Hube

10

5

11/3/2010

Flexión en Vigas de Material No Homogéneo
secciones planaspermanecen planas

Supuesto

Deformaciones

Sección

y

σ x1 = ε x E1

1

z

Momento
resultante

Tensiones

M

σ x 2 = ε x E2

2

Eje
neutro

b2

εx = −

dφ
y
ds

Equivalencia de Fuerzas
N = ∫ σ x dA = 0

Eje neutro coincide con el centroide
de la sección transformada

A

E2 = nE1
M = − ∫ yσ x dA
A

Tensiones
σ x1 = −

y

dφ
M
=
ds E1IT...