dinamica rotacional

6

DINAMICA DEL CUERPO RIGIDO

6.1

CINEMATICA

6.1.1
Configuracion de un Cuerpo Rígido: Angulos de Euler
Un cuerpo rígido se puede entender como una distribución continua de materia que se subdivide en
pequeños elementos arbitrarios de volumen y masa, que son las partículas del sistema. El movimiento
general de un cuerpo rígido es entonces un caso particular del movimiento de unsistema de partículas
unidas rígidamente entre sí.

En general, un sólido en el espacio tiene seis grados de libertad, es decir, su configuración queda
determinada unívocamente por seis coordenadas independientes. La posición de un punto O en el
cuerpo queda especificada por sus tres coordenadas en un sistema fijo. Para especificar la orientación
del cuerpo en el espacio se requieren trescoordenadas adicionales. En este capítulo se estudia la forma
de especificar la orientación. Entre muchos sistemas utilizados para este fin, uno de los más simples es el
de los Angulos de Euler.
Supóngase un cuerpo rígido con libertad de movimiento
total en el espacio como se muestra en la Fig. 6.1. O es un
3
punto fijo al cuerpo.
Se definen dos sistemas de
3
2
coordenadas con origen en O,referidos a un sistema
absoluto. El primero, S, es un sistema que mantiene
O
siempre sus tres ejes paralelos al sistema absoluto. El
2
segundo, S , tiene el mismo origen que el anterior, pero rota
1
con sus ejes solidarios al cuerpo. La configuración del
1
cuerpo rígido queda definida por la posición absoluta del
punto O y por la orientación del cuerpo, es decir, la
orientación del sistemaS con respecto a S. Se requiere
entonces encontrar un sistema de tres coordenadas capaz de
describir esta orientación. Para esto se definen los ángulos
Fig. 6.1 Sistemas de coordenadas
de rotación φ , θ , y ψ que se muestran en la Fig.6.2. Estos
ángulos, conocidos como Angulos de Euler, se obtienen según se describe a continuación.
Supóngase que inicialmente el sólido está orientado de talmanera que S y S coinciden. La primera
ˆ
rotación de S es el ángulo φ en torno al eje 3. Si S es el sistema definido por la posición de S después
ˆ
&
de esta rotación, la velocidad angular de S con respecto a S es φ e3. La segunda rotación es θ en torno al
~
ˆ
&ˆ
eje 1 , definiendo el sistema S que rota con velocidad θ e1 . Finalmente, la última rotación es ψ en torno
~
al eje 3 ,definiendo la configuración final del sistema S que rota con velocidad ψ ~ 3 .
&e

~
3

ˆ
2

φ

ˆ
3−3

1

2

φ

ˆ
1

2

~ −3
3

θ

ˆ 1
1− ~

ˆ
3

θ

~
2

ˆ
2
Fig. 6.2 Angulos de Euler

Mecanica Racional - UTFSM - Dinámica del Cuerpo Rígido

ψ

1

~
1

ψ

1

~
2

Los Angulos de Euler se definen como sigue:
ˆ 1
φ:
El ángulo que forma el eje1 (o ~ ) con el eje 1, siendo positivo el sentido de rotación en la
ˆ
dirección del eje 3 (o 3 ), con un rango entre 0 y 2π.
θ:
El ángulo que forma el eje ~ (o 3 ) con el eje 3, siendo positivo el sentido de rotación en la
3
~
ˆ
dirección del eje 1 (o 1 ), con un rango entre 0 y π.
1 ˆ
ψ:
El ángulo que forma el eje 1 con el eje ~ (o 1 ), siendo positivo el sentido de rotación en la
~(o 3 ), con un rango entre 0 y 2π.
dirección del eje 3
Las ecuaciones de transformación de coordenadas entre los sistemas son:
 cos φ sin φ 0

ˆ 
V =  − sin φ cos φ 0 V
 0
0
1



cos φ − sin φ 0

ˆ
V =  sin φ cos φ 0 V
 0
0
1



(6.1)

0
0 
1
~ = 0 cos θ sin θ  V
ˆ
V 

0 − sin θ cos θ 



0
0 
1

~
ˆ
V = 0 cos θ − sin θV
0 sin θ cos θ 



(6.2)

 cos ψ sin ψ 0

~
V =  − sin ψ cos ψ 0 V
 0
0
1



cos ψ − sin ψ 0
~ =  sin ψ cos ψ 0 V
V 

 0
0
1



Mediante los tres ángulos φ, θ, y ψ, definidos en
torno a tres ejes linealmente independientes entre
sí, se puede representar cualquier rotación del
sistema S respecto del sistema S. Definida
esta rotación,...