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MOMENTOS DE INERCIA DE MASA (DEFINICIÓN Y CÁLCULO)
El momento de inercia o inercia rotacional (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Aunque para muchos casos, el momento de inercia puede ser representado como una magnitud escalar, una representación más avanzada por medio de tensores es necesaria para el análisis de sistemas más complejos, como por ejemplo enmovimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el casodel movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Momento de inercia de una distribución de masas puntuales
Tenemos que calcular la cantidad

Donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de
• Un extremo
• De la segunda masa
• Del centro de masa
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es
IA=1•02+1•0.252+1•0.52+1•0.752+1•12=1.875 kgm2
El momento deinercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es
IB=1•0.252+1•02+1•0.252+1•0.52+1•0.752=0.9375 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es
IC=1•0.52+1•0.252+1•02+1•0.252+1•0.52=0.625 kgm2


Momento de inercia de una distribución continua de masa
Pasamos de unadistribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías
• Aplicación directa del concepto de momento de inercia
• Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido


Momento de inercia de una varillaVamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respectode un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2px y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es


Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcularel momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e


Momento de inercia de una placarectangular
Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es


Momento de inercia de un disco...
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