Dinamica

Capítulo

6

Soluciones ejercicios

Ejercicio 6.1 La posición de una partícula que se mueve sobre el eje OX de un sistema de coordenadas está dada x(t) = 1 + 8t − 2t2 , donde la posición está en metros y el tiempo en segundos. Determine a) La velocidad en t = 5 s. b) La aceleración en t = 2 s. c) El instante en que la partícula cambia su sentido de movimiento. d) El desplazamiento de lapartícula entre t = 0 y t = 4 s. e) El espacio recorrido entre t = 0 y t = 4 s. f) El espacio recorrido entre t = 0 y t = 5 s. Solución. Calculamos directamente a) v(t) = b) a(t) =
dx dt dv dt

= 8 − 4t que evaluada en t = 5 da v(5) = −12 m s−1 = −4 constante por lo tanto a(2) = −4 m s−2

c) Cuando v(t) = 8 − 4t = 0 esto es cuando t = 2 s

100

Soluciones ejercicios

d) ∆x = x(4) − x(0) =(1 + 8 × 4 − 2 × 42 ) − 1 = 0 m e) Notemos que partícula cambia sentido del movimiento cuando v(t) = 8 − 4t = 0 es decir en t = 2 s, por lo tanto s = x(2) − x(0) + x(2) − x(4) = 16 m f) Similarmente s = x(2) − x(0) + x(2) − x(5) = 26 m N Ejercicio 6.2 Una partícula se mueve a lo largo del eje OX de un sistema de coordenadas con aceleración constante. En el instante inicial pasa por la posiciónx(0) = −10 m con una velocidad v(0) = −20 m s−1 y en t = 3 s su posición es x(3) = −52 m. Determine a) La posición de la partícula en función del tiempo x(t). (o ecuación itinerario) b) El espacio recorrido por la partícula entre t = 3 s y t = 6 s. c) La velocidad media entre t = 4 s y t = 7 s. d) Los intervalos de tiempo en que la partícula se aleja del origen. Solución. Si a indica la aceleraciónentonces 1 x(t) = x(0) + v(0)t + at2 2 1 2 = −10 − 20t + at 2 pero se sabe que x(3) = −52 por lo tanto 1 −52 = −10 − 20 × 3 + a × 32 2 de donde a = 4 m s−2 . Ahora podemos calcular las respuestas a) x(t) = −10 − 20t + 2t2

101 b) Para saber el espacio recorrido debemos saber cuando cambia el sentido del movimiento v(t) = −20 + 4t = 0 → t = 5 s que está dentro del intervalo (3, 6). Comoinicialmente va hacia la izquierda s = x(3) − x(5) + x(6) − x(5) = 10 m c) Tenemos que calcular x(7) − x(4) , 7−4 pero podemos evaluar x(7) = −52 m y x(4) = −58 m luego −52 + 58 vm (4, 7) = = 2 m s−1 . 7−4 vm (4, 7) = d) La partícula comienza a moverse hacia la izquierda hasta alcanzar su mínimo que ocurre en t = 5 s. Posteriormente cruza el origen nuevamente cuando Por lo tanto la partícula se aleja delorigen en los intervalos de tiempo 0 < t < 5 y t > 10,477 s N Ejercicio 6.3 El gráfico siguiente ilustra la variación de la velocidad v(t) de una partícula que se mueve sobre el eje OX de un sistema de coordenadas con el tiempo. Si en t = 0 la partícula está en el origen del sistema, determine
Vx m/s

−10 − 20t + 2t2 = 0 → t = 10. 477 s

30

15 2 O 1 -15 8 t (s) 3 4 5 6 7 9

102Soluciones ejercicios

a) La aceleración de la partícula en t = 1 s. b) El desplazamiento de la partícula entre t = 0 s y t = 3 s. c) La velocidad media de la partícula entre t = 4 s y t = 9 s. d) La posición de la partícula en función del tiempo x(t) (ecuación itinerario) en el intervalo de t = 0 s a t = 2 s. e) Los intervalos de tiempo en que la partícula se dirige hacia el origen. Solución. Esconveniente primero evaluar las aceleraciones (pendientes del gráfico dado) en los tres tramos. Así resulta a1 = − 45 15 m s−2 , a2 = 0 m s−2 , a3 = m s−2 2 2

luego al utilizar la ecuación 1 x(t) = x(0) + v(0)t + at2 , 2 resulta x(t) para todo el recorrido 45 1 x(t) = x(0) + v(0)t + a1 t2 = 30t − t2 para t 0 2 2 4 x(2) = 15 m 1 x(t) = x(2) + v(2)(t − 2) + a2 (t − 2)2 = 15 − 15(t − 2) para 2 0 t 0 52 x(5) = −30 m 1 x(t) = x(5) + v(5)(t − 5) + a3 (t − 5)2 2 15 = −30 − 15(t − 5) + (t − 5)2 para 5 0 t 4 luego las respuestas serán: N a) a(1) = − 45 m s−2 2

103 b) ∆x = x(3) − x(0) = 15 − 15(3 − 2) = 0 c) vm = −30 − 15(9 − 5) + x(9) − x(4) = 9−4
45 2 t 4 15 (9 4

− 5)2 − (15 − 15(4 − 2)) = −3 m s−1 9−4

d) x(t) = 30t −

e) la partícula parte alejándose del origen hacia la derecha...