Discriminante o hessiano

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Trabajo publicado en www.ilustrados.com
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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE OCCIDENTE
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

MATEMÁTICA III

Discriminante o hessiano (matriz hessiana) para encontrar máximos, mínimos y puntos de silla en funciones de varias variables

Autor: Jaime Oswaldo Montoya Guzmán

Email:jaimemontoya@gmail.com
INTRODUCCIONEl presente trabajo explica de manera detallada el discriminante, hessiano o matriz hessiana.

Primero se da a conocer una reseña histórica y biográfica del creador o inventor de las matrices hessianas y luego se presenta paso a paso la forma de resolver ejercicios de 2 o más variables haciendo uso de matrices hessianas.

Al final se resuelve un ejercicio completo de 3variables y se explica detalladamente cada uno de los procesos realizados.

También se presenta en este trabajo 7 pasos a seguir para encontrar máximos y mínimos utilizando matrices hessianas, lo cual será útil para la solución de cualquier ejercicio de este tipo.

DESARROLLO
HISTORIA

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Ludwig Otto Hess (1811-1874)

El hessiano, conocido también como discriminante o matrizhessiana, fue introducido en el año de 1844 por Hesse, matemático alemán quien nació en 1811 y murió en 1874. Esto sucedió luego de que Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) introdujera “los jacobianos”. Lo que hizo Jacobi con esto fue expresar los cambios de variable de las integrales múltiples en términos de estos.

Respecto a los detalles biográficos de Ludwig Otto Hess se sabe que nacióprecisamente en Konigsberg, Alemania (aunque actualmente es Rusia) el 22 de abril de 1811. Estudió con Jacobi en su ciudad natal (Konigsberg), donde se desempeñó primero como maestro de física y química y posteriormente como profesor. En 1856 se trasladó a Heidelberg, donde permaneció doce años, antes de tomar un puesto en Munich, donde falleció el 4 de agosto de 1874.

Ludwig Otto Hessse hizo tan famoso por una matriz que introdujo en un artículo de 1842 referido a curvas cúbicas y cuadráticas.
NOTACIÓN EN DERIVADAS PARCIALES

Primeramente se aclaran las notaciones que se pueden utilizar y que representan lo mismo al trabajar con derivadas parciales:

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MATRIZ HESSIANA DE DOS VARIABLES

Si se tiene un ejercicio con dos variables, se obtendrá unamatriz hessiana 2 x 2. Si el ejercicio fuera de tres variables, la matriz hessiana será 3 x 3, y así sucesivamente. Para el caso de dos variables, la matriz hessiana 2 x 2 se genera de la siguiente manera:

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En este trabajo se estará usando la notación que aparece en el miembro izquierdo de las ecuaciones por considerarlo más sencillo de comprender a primera vista.

MATRIZ HESSIANADE TRES VARIABLES

Antes de presentar un ejemplo, se muestra la matriz resultante cuando se trabaja con ejercicios o problemas de tres variables. La matriz hessiana será de 3 x 3 y queda de esta forma:

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SIGNIFICADO DE CADA ELEMENTO DE LA MATRIZ HESSIANA DE TRES VARIABLES

Con el objetivo de explicar cada detalle con la mayor claridad posible, se expresa el significadode cada uno de los elementos que aparecen dentro de la matriz:

[pic] Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a x nuevamente.
[pic] Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a y.
[pic]Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a z.
[pic] Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a x.
[pic] Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y y...
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