Diseño de experimentos

Una laboratorio farmacéutico compro maquinas para llenar con jarabe recipientes de metal de 5 galones de capacidad, después de las pruebas de arranque necesarios, existen problemas en el llenado de dichos recipientes, la variable de interés es entonces la cantidad de jarabe derramada debido a una espuma que se produce al agregar el jarabe, se cree que 3 factores influyen en la producción deespuma y son los siguientes;

* La forma de la boquilla
* La destreza del operador
* Presión de operación

Para realizar un experimento 3k, un ingeniero elije 3 tipos de boquillas con 3 operadores (los más diestros) y 3 niveles de presión. Por otro lado su compañero sugiere realizar dicho experimento por duplicado.

a) Determinar el total de experimentos a realizar.

33=27*2=54Por lo tanto, el número total de experimentos a realizar son 54.

b) Un tercer ingeniero sugiere a los otros 2 realizar el promedio del resultado de las repeticiones analizadas. El primer ingeniero replica: es mejor considerar el total de los valores. ¿Cuál ingeniero tiene la razón?

Boquilla | X1 | 0 | 1 | 2 |
Trabajador | X2 | 0 | 1 | 2 |
Presión de trabajo (psi) | X3 | 2 | 5 | 7 |y=β0+β1X1+β2X2+β3X3
ε=n=1nyi+(β0+β1X1+β2X2+β3X3)2
∂ε∂β0=0=2n=1n (β0+β1X1+β2X2+β3X3)(-1)
i=1nyi=β0i=1n+β1i=1nx1+β2i=1nx2+β3i=1nx3
∂ε∂β1=0=2i=1n(yi-β0-β1x1-β2x2-β3x3)(-x1)
i=1nyix1=β0i=1nx1+β1i=1nx12+β2i=1nx1x2+β3i=1nx1x3
∂ε∂β2=0=2i=1n(yi-β0-β1x1-β2x2-β3x3)(-x2)
i=1n yix2=β0i=1nx2+β1i=1nx1x2+β2i=1nx22+β3i=1nx2x3
∂ε∂β3=0=2i=1n(yi-β0-β1x1-β2x2-β3x3)(-x3)
i=1nyix3=β0i=1nx3+β1i=1nx1x3+β2i=1nx2x3+β3i=1nx32

Sistema de ecuaciones:
1. y=β0+β1x1+β2x2+β3x3

2. yx1=β0x1+β1x12+β2x1x2+β3x1x3

3. yx2=β0x2+β1x1x2+β2x22+β3x2x3

4. yx3=β0x3+β1x1x3+β2x2x3+β3x32

1er Repetición.

Para la presión de 2 psi se tiene:
TB | 0 | 1 | 2 |
0 | -35 | -45 | -40 |
1 | 17 | -85 | 20 |
2 | -39 | -55 | 15 |

Y | X1 | X2 | X3 |
-35 | 0 | 0 | 2 |
-45 | 0 | 1 | 2 |
-40 | 0 |2 | 2 |
17 | 1 | 0 | 2 |
-85 | 1 | 1 | 2 |
20 | 1 | 2 | 2 |
-39 | 2 | 0 | 2 |
-55 | 2 | 1 | 2 |
15 | 2 | 2 | 2 |

Para la presión de 5 psi se tiene:
TB | 0 | 1 | 2 |
0 | 100 | -10 | 80 |
1 | 55 | -55 | -10 |
2 | 90 | -28 | -10 |

Y | X1 | X2 | X3 |
100 | 0 | 0 | 5 |
-10 | 0 | 1 | 5 |
80 | 0 | 2 | 5 |
55 | 1 | 0 | 5 |
-55 | 1 | 1 | 5 |
-10 | 1 | 2 | 5 |
90 |2 | 0 | 5 |
-28 | 2 | 1 | 5 |
-10 | 2 | 2 | 5 |

Para la presión de 7 psi se tiene:
TB | 0 | 1 | 2 |
0 | 4 | -40 | 31 |
1 | -23 | -64 | -20 |
2 | -30 | -61 | 54 |

Y | X1 | X2 | X3 |
4 | 0 | 0 | 7 |
-40 | 0 | 1 | 7 |
31 | 0 | 2 | 7 |
-23 | 1 | 0 | 7 |
-64 | 1 | 1 | 7 |
-20 | 1 | 2 | 7 |
-30 | 2 | 0 | 7 |
-61 | 2 | 1 | 7 |
54 | 2 | 2 | 7 |

Sumatorias:
Y |-14 |
x1 | 27 |
x2 | 27 |
x3 | 126 |
yx1 | -123 |
yx2 | -33 |
yx3 | -137 |
x12 | 45 |
x22 | 45 |
x32 | 702 |
x1*x2 | 27 |
x1*x3 | 126 |
x2*x3 | 126 |

Sustitución en el sistema de ecuaciones:
-14=27β0+27β1+27β2+126β3
-123=27β0+45β1+27β2+126β3
-33=27β0+27β1+45β2+126β3
-137=126β0+126β1+126β2+702β3
Resultados:
β0= | 9.52631579 |
β1= | -6.05555556 |
β2= |-1.05555556 |
β3= | -0.62865497 |

Análisis ANDEVA:
k=3
b=9
N=27
Fuente de Variación | Suma de cuadrados | Grados de libertad | Cuadrados medios | F |
Tratamiento | SCT=i=1k yi2b-y..2N | k-1 | CMT=SCTk-1 | F=CMTCMB |
Bloque | SCB=i=1b yj2k-y..2N | b-1 | CMB=SCBb-1 | |
Error | SCE=(SCT-SCB) | (k-1)(b-1) | | |
Total | Total=i=1ki=1b yij2-y..2N | N-1 | | |

Fuente de Variación | Sumade cuadrados | Grados de libertad | Cuadrados medios | F |
Tratamiento | SCT=7145.243713 | 2 | CMT=3572.621856 | 1134.050437 |
Bloque | SCB=25.20256059 | 8 | CMB=3.150320073 | |
Error | SCE=7170.535894 | 16 | | |
Total | Total=64307.91038 | 26 | | |

F0.95,2,24=3.403
Fcal>F0.95,2,24 , por lo tanto se rechaza Ho y se acepta Ha: µ1≠ µ2≠ µ3, ya que los cálculos obtenidos...