Diseño de variables de estado

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DISEÑO USANDO VARIABLES DE ESTADO
Para poder estudiar el diseño con variables de estado, resulta conveniente estudiar ciertos aspectos básicos acerca del modelado de sistemas con dicha técnica. En principio, para sistemas lineales variantes en el tiempo existen 3 representaciones básicas, las cuales son equivalentes en cuanto a los resultados que arrojan, pero difieren en el enfoque y puntosparticulares que buscan estudiar. Así, estas representaciones son: Sistemas con función de transferencia (entrada – salida). Respuesta en Frecuencia (Bode). Variables de Estado.

Con respecto a la representación de las variables de estado, se tiene que esta es la representación del sistema en términos de ecuaciones diferenciales, lo cual se traduce directamente en una representación de loselementos que componen el sistema, ofreciendo así, un estudio único de la conformación interna del mismo. Esta representación se resume en el siguiente sistema de ecuaciones: X’ = AX + BU Y = CX Donde X y X’ son respectivamente las variables de estado del sistema y su derivada en el tiempo, U es la entrada del sistema y Y, la salida. En una representación en variables de estado, los elementos quedeterminan dichos “estados” son aquellos que tienen memoria (que almacenan energía). Para entender de manera más clara el empleo de las variables de estado, se puede desarrollar el siguiente sistema compuesto por un circuito RLC:

Las ecuaciones que describen este sistema son: L(diL/dt) = Vi – RiL – VC C(dVC/dt) = iL Donde: Y(t) = VC Dado que los elementos que almacenan energía son el capacitor (C) yel inductor (L), se tiene que los estados que se definen son VC e iL respectivamente. Al desarrollar las ecuaciones queda: diL/dt = –(R/L)iL – VC/L – Vi/L dVC/dt = iL/C Esto, puede llevarse a la representación de variables de estado de la siguiente manera:

Cuando se tiene este tipo de representación se puede dibujar el sistema con en siguiente diagrama de bloques:

Donde se puede ver que setiene acceso a las señales internas que componen el sistema.

Si tomamos las ecuaciones que definen las variables de estados en el tiempo (X’ = AX + BU; Y = CX) y aplicamos la transformada de LaPlace, queda: sX(s) = AX(s) + BU(s) Y(s) = CX(s) De lo que, al operar, se determina que: X(s) = (sI – A)-1BU(s) ⇒ Y(s) = C(sI – A)-1BU(s)

De esto, se puede determinar la siguiente función detransferencia: G(s) = Y(s)/U(s) = C(sI – A)-1B = C[Adj(sI – A)/det(sI – A)]B La función de transferencia tiene normalmente la siguiente estructura: G(s) = (bmsm + bm-1sm-1 + … + b1s + b0)/( ansn + an-1sn-1 + … + a1s + a0) Donde m < n, y el polinomio del denominador tiene la estructura de un polinomio mónico, esto es, con an = 1. Ahora, para pasar de la función de transferencia a variables de estado, sepueden reescribir las ecuaciones como se muestra: Y/( bmsm + bm-1sm-1 + … + b1s + b0) = U/( ansn + an-1sn-1 + … + a1s + a0) = Q(s) Operando sobre U/( ansn + an-1sn-1 + … + a1s + a0) = Q(s) se obtiene que: snQ(s) = – an-1sn-1Q(s) – an-2sn-2Q(s) – … – a0Q(s) + U(s) (1) De esto, se pueden definir las variables de estado de la siguiente manera: X2 = sQ(s) X3 = s2Q(s) X1 = Q(s) ⇒ ⇒ . . . Xn = sn-1Q(s) ⇒Xn-1’ = Xn X1’ = X2 X2’ = X3

De la última variable de estado tenemos que: sXn= snQ(s)= Xn’

Con esto, y (1) podemos escribir la ecuación anterior como se muestra a continuación: Xn’ = – an-1Xn – an-2Xn-1 – … – a0X1 + u(t) Luego, estudiamos la ecuación Y/( bmsm + bm-1sm-1 + … + b1s + b0) = Q(s), de donde, al aplicar las variables de estado definidas anteriormente, se obtiene que: Y(t) = b0X1 +b1X2 + … + bmXm+1 Con estas ecuaciones se puede escribir entonces el sistema de matrices que caracteriza la estructura de las variables de estado:

La matriz A en esta situación es de dimensiones nxn, donde n es el orden del denominador de la función de transferencia G(s). Dado que el polinomio sI – A = 0 representa la ecuación característica del sistema, el encontrar los autovalores de la...
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